Bardzo ładny dowód!
Zauważyłem ponadto ciekawy fakt: Niech
\(\displaystyle{ \mathfrak {A_{m}}}\) będzie rodziną wszystkich układów o długości
\(\displaystyle{ m}\) , wtedy strukturą rodziny nazwiemy
\(\displaystyle{ G=(\mathfrak{A_{m}},\odot)}\) spełniającą podane zależności:
\(\displaystyle{ \cdot\quad \forall a,b\in\mathfrak {A_{m}}\quad a\odot b\in\mathfrak{A_{m}}}\) (operacja binarna)
\(\displaystyle{ \cdot\quad \forall a,b,c\in \mathfrak{A_{m}}\quad a\odot (b\odot c)=(a\odot b)\odot c}\) (łączność)
Tak zdefiniowana struktura algebraiczna jest półgrupą. Dla potrzeb problemu oznaczmy przez
\(\displaystyle{ \mathfrak{C}}\) rodzinę wszystkich układów równą:
\(\displaystyle{ \mathfrak{C}=\bigcup_{m=1}^{ \infty } \mathfrak{A_{m}}}\)
Niech
\(\displaystyle{ \circ}\) będzie działaniem na tej rodzinie:
\(\displaystyle{ a=(a_{1},...,a_{m}), b=(b_{1},...,b_{k}) \Rightarrow a\circ b=(a_{1},...,a_{m},b_{1},...,b_{k}})\in\mathfrak{C}}\) Pondato na mocy relacji równoważności:
\(\displaystyle{ a\circ b\sim b\circ a\because f^{k}(a\circ b)=b\circ a}\) , wtedy
\(\displaystyle{ (\mathfrak{C},\circ)}\) jest półgrupą. Niech
\(\displaystyle{ \mathfrak{P}(A)}\) będzie oznaczać pętle tzn.
\(\displaystyle{ \mathfrak{P}(A)\subset X(A)}\) i spełnia własność:
\(\displaystyle{ \forall A:\exists\mathfrak{P}(A) \Rightarrow \exists k\in \NN:S^{k}( \pm A)\sim A,A \neq \mathbb{A}}\) Przedstawie teraz te własnośći bardziej zrozumiale otoż zauważyłem ciekawą własność:
\(\displaystyle{ (1,-1,1) \rightarrow (-1,-1,1) \rightarrow (1,-1,-1) \rightarrow (-1,1,-1)}\) Zauważmy, że ostatni wyraz napisany
\(\displaystyle{ (-1,1,-1)}\) , gdyby został pomnożony przez
\(\displaystyle{ -1}\) ,wtedy byłby identyczny z pierwszym układem. Rozważmy udosokonaloną wersję relacji równoważności:
\(\displaystyle{ a\sim_{u} b \Leftrightarrow \exists k\in\ZZ:f^{k}( \pm a)=b}\)
Stwierdzenie: Każdy układ
\(\displaystyle{ A}\) nie stabilizujący się składa się z układu/układów klasy abstrakcji
\(\displaystyle{ [A]_{\sim_{u}}}\). Innymi słowy, układ
\(\displaystyle{ A}\) nie stabilizuje się, gdy
\(\displaystyle{ A\sim_{u} S(A)}\) , przy założeniu oczywiście, że
\(\displaystyle{ A\neq\mathbb{A}}\) . Założmy, że tak nie jest i istnieje pewien układ pętlący się, który nie ma układów należących do klasy abstrakcji
\(\displaystyle{ [A]_{\sim_{u}}}\) , lecz z tego wynika sprzeczność ponieważ skoro nie posiada żadnych układów równoważnych wyznaczanych przez klasę abstrakcji
\(\displaystyle{ [A]_{\sim_{u}}}\) , to nie jest możliwe by w ciągu
\(\displaystyle{ X(A)}\) można było wrócić do początku, zatem musimy rozważyć rodziny o długościach
\(\displaystyle{ p}\) , gdzie
\(\displaystyle{ p\in\PP \setminus \left\{ 2\right\}}\) Zatem musimy udowodnić, że
\(\displaystyle{ \forall\mathfrak{A_{p}}\exists A\in\mathfrak{A_{p}}:A\sim_{u}S(A)}\)
Dowód dla
\(\displaystyle{ p}\) jest prosty: Rozważmy układ
\(\displaystyle{ A}\) składający się tylko z plus jedynek i na ostatim miejscu z minus jedynką, który to układ ma długość
\(\displaystyle{ m=2k+1}\) Niech
\(\displaystyle{ \psi(A)}\) będzie funkcją zliczającą ilość minus jedynek w układzie
\(\displaystyle{ A}\) , wtedy
\(\displaystyle{ \psi\big(X(A)\big)}\) jest równe podanemu ciągowi:
\(\displaystyle{ \left\{ 1,\green2,2,\blue4,\green2,\blue4,4,\red8,\blue4,\black6,\red8,\black....\right\}}\) jak łatwo zauważyć i można udowodnić, że ciąg ten przyjmuje zawsze wartości parzyste więc nie jest możliwe by
każdy układ o długości nieparzystej się stabilizował. Teraz rozważmy
\(\displaystyle{ 2m=4k+2}\) , można prosto zauważyć, że
\(\displaystyle{ \psi\big(X(A\circ A)\big)=2\cdot\psi\big(X(A)\big)=\left\{ 2,4,4,8,4,...\right\}}\) Ponadto, zachodzi:
\(\displaystyle{ S(A\circ A)=S(A)\circ S(A)}\) , zatem jeśli po
\(\displaystyle{ k}\)-krotnej operacji układ pętli się to musi zajść:
\(\displaystyle{ S^{k}(A)\circ S^{k}(A)=S^{k}(A\circ A)}\) , co udowadnia że mnożenie przez
\(\displaystyle{ 2}\) zachowuje rozwiązywalność bądź jej brak, lecz i tak sądze, że dowód podany przez Ciebie był dużo ładniejszy.
Rozważmy teraz rozwiązywalność układów nieskończonych. Przez rozwiązywalność będziemy rozumieć, że układ stabilizuje się do
\(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) i jednocześnie potrzeba skończenie wielu operacji
\(\displaystyle{ S}\) ,by uzyskać
\(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) . Po pierwsze zdefiniujmy innaczej operacje:
\(\displaystyle{ S(A)=\lbrace a_{1}a_{2},a_{2}a_{3},...a_{n-1}a_{n}\rbrace}\) Niech
\(\displaystyle{ A}\) będzie układem o długości
\(\displaystyle{ m=2^{n}}\) , wtedy
\(\displaystyle{ \bigcirc_{}^{ \infty }A=A\circ A\circ A\circ ...}\) układ będzie rozwiązywalny, lecz gdy układ
\(\displaystyle{ B}\) jest nierozwiązywialny o długości skończonej to:
\(\displaystyle{ \bigcirc^{\infty}B}\) jest też nierozwiązywalny, lecz w nieskończoności dzieją dziwne rzeczy jak np. że jeśli mamy układy nierozwiązywalne o długości nieparzystej i je dodamy w nieskończonośc będą rozwiązywalne np.
\(\displaystyle{ \bigcirc^{\infty}\big(A\circ f(A)\big)}\) np.
\(\displaystyle{ \bigcirc^{\infty}\big((1,1,-1)\circ (-1,1,1)\big)}\)
Oczywistym faktem jest jeśli będziemy mieć jakieś dwa różne układy
\(\displaystyle{ A,B}\) i je zsumujemy do nieskończoności tak:
\(\displaystyle{ \bigcirc^{\infty}(A\circ B)}\) to dostaniemy struktury powtarzalne. Możemy zdefiniować
\(\displaystyle{ n}\)-powtarzalność poprzez:
\(\displaystyle{ \bigcirc^{\infty}(\underbrace{A\circ B\circ...\circ X}_{n})}\) Problem zaczyna się gdy struktura nie za bardzo powtarzalna, o ile taka istnieje, trzeba by dowieść jej istnienia bądź zaprzerzyć. Ja wierzę, że w matematyce wszystko ma jakiś ukryty sens, nawet liczby pierwsze, ale to moje zdanie. Napiszę coś więcej jeszcze, jak mi coś przyjdzie do głowy, pozdrawiam.