Kongruencja w zbiorze liczb całkowitych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
mateuszmm7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 7 lis 2018, o 22:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 8 razy

Kongruencja w zbiorze liczb całkowitych

Post autor: mateuszmm7 »

Mam do rozwiązania następującą kongruencję w zbiorze liczb całkowitych, ale nie wiem jak sie za to zabrac

\(\displaystyle{ 6x\equiv 9\pmod{33}.}\)

z góry dziękuję za pomoc
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Kongruencja w zbiorze liczb całkowitych

Post autor: Premislav »

Tę kongruencję możemy przepisać tak, że istnieje takie całkowite \(\displaystyle{ y}\), że
\(\displaystyle{ 6x=33y+9}\), a stąd \(\displaystyle{ 2x=11y+3}\), czyli znów w języku kongruencji
\(\displaystyle{ 2x\equiv 3\pmod{11}}\)
Elementem odwrotnym względem mnożenia w \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) do \(\displaystyle{ 2}\) jest \(\displaystyle{ 6}\), rzeczywiście \(\displaystyle{ 6\cdot 2\equiv 1\pmod{11}}\). Mnożymy więc stronami przez \(\displaystyle{ 6}\) kongruencję
\(\displaystyle{ 2x\equiv 3\pmod{11}}\), redukujemy modulo \(\displaystyle{ 11}\) co się da i dostajemy
\(\displaystyle{ x\equiv 7\pmod{11}}\).
ODPOWIEDZ