Znajdź lliczby

[Szakul1]

Znajdź takie liczby naturalne \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ s}\) takie, że:
\(\displaystyle{ k(k+1)+s ^{2}=504}\)

Wystarczy jedna taka para. Mam rozwiązanie w którym zapisane jest, że \(\displaystyle{ 504\equiv 9 \pmod {11}}\)
i podstawienie \(\displaystyle{ k=11z+4 , s ^{2} =11l^{2}}\). Tylko nie wiem czemu akurat \(\displaystyle{ \mod 11}\)?

[Premislav]

O to należałoby zapytać autora rozwiązania, a nie nas, proste.

Szczerze mówiąc, nie mam pojęcia, z jakiej dvpy wzięto ten pomysł, ja bym pomnożył to równanie stronami przez \(\displaystyle{ 4}\), po czym dodał jedynkę, co poprowadziłoby do
\(\displaystyle{ (2k+1)^2+(2l)^2=2017}\)
Dalej modulo \(\displaystyle{ 8}\) łatwo uzyskać, że musi być \(\displaystyle{ 8|(2l)^2}\), stąd natychmiast \(\displaystyle{ l=2m}\) dla pewnego \(\displaystyle{ m\in \NN}\), czyli mamy
\(\displaystyle{ (2k+1)^2+16m^2=2017}\).
Poza tym modulo \(\displaystyle{ 16}\) nietrudno wywnioskować, że \(\displaystyle{ (2k+1)^2\equiv 1\pmod{16}}\), stąd po rozpisaniu widać, że któraś z liczb \(\displaystyle{ k, k+1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 4}\).
Jeśli to \(\displaystyle{ k}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 4}\), to dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN}\) mamy
\(\displaystyle{ 2017=(2k+1)^2+16m^2\ge (2k+1)^2=(8n+1)^2+16m^2>64n^2+16m^2\ge 64n^2}\)
toteż \(\displaystyle{ 64n^2\le 64\cdot 25}\) (bo już \(\displaystyle{ 64\cdot 36>2017}\)) i \(\displaystyle{ n\in\left\{ 0,1,2,3,4,5\right\}}\).
Tych pięć przypadków sprawdzamy ręcznie i na pewno dostajemy rozwiązanie \(\displaystyle{ n=1, \ m=11}\), czyli w wyjściowych zmiennych \(\displaystyle{ k=4, \ s=22}\)

[Szakul1]

Witam, tak naprawdę treść tego zadania brzmiała znaleźć takie liczby \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), że:
\(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2}=2017}\)
W tym rozwiązaniu które posiadam ta postać została sprowadzona do tej którą wcześniej napisałem i chciałem wiedzieć skąd następne obliczenia się wzięły. Pan doszedł sam do oryginalnej treści zadania .
Pana rozwiązanie jednak w pełni mnie satysfakcjonuje i dziękuję za pomoc.

-- 8 cze 2019, o 22:00 --

Chciałem jeszcze tylko zapytać czy w miejscu
\(\displaystyle{ (2k+1)^2+16m^2\ge (2k+1)^2=(8n+1)^2+16m^2}\)
nie ma błędu i nie należy po prostu ominąć \(\displaystyle{ \ge (2k+1) ^{2}}\)?

[Premislav]

Tak, jasne, żeby mniej pisać, kopiowałem fragmenty wcześniejszych formuł i usuwałem to, co niepotrzebne, i tu nie usunąłem. Tak, właśnie należy stąd wyrzucić to \(\displaystyle{ \ge (2k+1)^2}\).