Całkowite pierwiastki

[mol_ksiazkowy]

Dla jakich \(\displaystyle{ m, n}\) liczby \(\displaystyle{ \sqrt{n + \sqrt[3]{m} }}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{m + \sqrt[3]{n} }}\) są całkowite ?

[Legisl]

Niech \(\displaystyle{ n=k^{3},m=\ell^{3}}\) wtedy: \(\displaystyle{ \sqrt{k^{3}+\ell},\sqrt{\ell^{3}+k}}\) podstawiając \(\displaystyle{ \ell=4^{s},s\in \NN \cup \lbrace 0\rbrace}\) i \(\displaystyle{ k=0}\) otrzymujesz \(\displaystyle{ \sqrt{0+4^{s}}=2^{s},\sqrt{4^{3s}+0}=2^{3s}}\)-- 4 lip 2019, o 09:39 --A dla \(\displaystyle{ (k=0,\ell=1) \sqrt{1},\sqrt{1^{3}}}\) lub \(\displaystyle{ (k=0,\ell=0)}\) , dla \(\displaystyle{ (k=1,\ell=-1)}\) i można tak szukać, lecz wątpie, by była inna jakaś regularność, oprócz tej ktróra podałem.