Nieskończona suma

[Bran]

Wykazać, że nie istnieje taka liczba dodatnia \(\displaystyle{ a}\), która dodana do siebie nieskończenie, ale przeliczalnie wiele razy, będzie mniejsza lub równa \(\displaystyle{ 1}\).

Czyli dla każdego dodatniego \(\displaystyle{ a}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ a+a+\dots > 1}\)

[Jan Kraszewski]

Wykazać, że nie istnieje taka liczba dodatnia \(\displaystyle{ a}\), która dodana do siebie nieskończenie, ale przeliczalnie wiele razy, będzie mniejsza lub równa \(\displaystyle{ 1}\).

To tak trochę nie ma sensu, bo żadnej liczby dodatniej nie jesteś w stanie dodać do siebie nieskończenie wiele razy.

JK

[matmatmm]

Moim zdaniem ma to sens i chodzi tutaj o udowodnienie, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}a>1}\), co sprowadza się do pokazania, że suma tego szeregu wynosi \(\displaystyle{ +\infty}\), co z kolei jest wnioskiem z tzw. pewnika Archimedesa tzn.

Twierdzenie (Pewnik Archimedesa). Dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ a>0,b>0}\) istnieje \(\displaystyle{ n\in\NN}\) takie, że \(\displaystyle{ na>b}\).

Dowód tego faktu opiera się na aksjomacie ciągłości tzn.

Aksjomat (ciągłości). Dowolny zbiór niepusty ograniczony z góry ma kres górny.

W tym dowodzie należy rozważyć zbiór \(\displaystyle{ \{na:n\in\NN\}}\), przypuścić, że jest ograniczony z góry, skorzystać z aksjomatu ciągłości i dojść do sprzeczności.

[Bran]

Dziękuję.

A Panu Janowi Kraszewskiemu prawdopodobnie chodziło o moje niefrasobliwe sformułowanie.

[Jan Kraszewski]

Moim zdaniem ma to sens i chodzi tutaj o udowodnienie, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}a>1}\),

No to jest dla mnie bardzo niechlujne sformułowanie problemu - zapis \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}a>1}\) jest niepoprawny, bo nie możesz porównywać czegoś, co nie istnieje z jedynką.

JK

[Bran]

Jan Kraszewski, dla ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) stale równego \(\displaystyle{ a}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in \RR^+}\) zachodzi \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_n > 1}\).

Tak jest lepiej?

[Jan Kraszewski]

Dla mnie jest tak samo źle - nie możesz porównywać czegoś, co nie istnieje, czyli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_n}\), z jedynką.

JK

[Bran]

Jan Kraszewski, jak można to wyrazić właściwie?

[Jan Kraszewski]

Problem w tym, że nie bardzo wiem, co chcesz wyrazić.

W tym wypadku prawdą jest twierdzenie, że dla każdego \(\displaystyle{ a>0}\) istnieje \(\displaystyle{ N\in\NN}\) takie, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{N}a>1}\), co jednak prościej zapisać jako \(\displaystyle{ N\cdot a>1}\), no i masz po prostu szczególny przypadek pewnika Archimedesa...

JK

[matmatmm]

Dla mnie jest tak samo źle - nie możesz porównywać czegoś, co nie istnieje, czyli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_n}\), z jedynką.

A czy czasem dla szeregów o wyrazach nieujemnych nie przyjmuje się konwencji, że gdy taki szereg jest rozbieżny, to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_n=+\infty}\) ? Wtedy \(\displaystyle{ +\infty}\) z jedynką chyba można porównać?

[AiDi]

Nieskończoność potencjalna nie jest liczbą (i w sumie to niczym konkretnym nie jest), więc porównywanie jej z jedynką nie ma sensu.

[matmatmm]

Widziałem twierdzenia, w których porównuje się nieskończoność z liczbami, na przykład twierdzenie o zachowaniu nierówności w granicy:

Jeśli \(\displaystyle{ a_n\leq b_n}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\), to \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}a_n\leq\limsup_{n\to\infty}b_n}\)

[Jan Kraszewski]

Widziałem twierdzenia, w których porównuje się nieskończoność z liczbami, na przykład twierdzenie o zachowaniu nierówności w granicy:

Jeśli \(\displaystyle{ a_n\leq b_n}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\), to \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}a_n\leq\limsup_{n\to\infty}b_n}\)

To twierdzenie w tej wersji, bez dodatkowego komentarza, jest z formalnego punktu widzenia tak samo niepoprawnie sformułowane, jak to wyjściowe.

Zdaje sobie sprawę, że w praktyce często formalna poprawność ustępuje pola domyślnej interpretacji, co niekoniecznie musi być złe. Mimo to warto mieć świadomość, jak wygląda w pełni poprawna od strony formalnej wersja.

JK

[Premislav]

off-topic: czy „pewnik Archimedesa" jest, jak się spodziewam, tak nazywany tylko z przyczyn historycznych? Bo widzę, że podałeś,matmatmm, jego dowód w oparciu o inny pewnik (synonim słowa „aksjomat") i zastanawiam się, na ile jest to potrzebne w rozumowaniu (co zależy właśnie od statusu pewnika Archimedesa). Ja rozumiem, że może bardziej elegancko jest przyjmować minimalny zestaw aksjomatów, ale spotkałem się częściej z podejściem, w którym w \(\displaystyle{ \textbf{ZFC}}\) jakoś nie przyjmujemy minimalnego zestawu aksjomatów (bo z aksjomatu zastępowania i aksjomatu zbioru pustego wynika aksjomat wycinania, a mimo to jest on podawany) i nikt nie płacze z tego powodu.

[matmatmm]

Tak. Pewnik Archimedesa jest tak nazywany z przyczyn historycznych.

Jednym ze sposobów wprowadzenia zbioru liczb rzeczywistych jest definicja aksjomatyczna. To znaczy definiujemy \(\displaystyle{ \RR}\) jako ciało uporządkowane, w którym spełniony jest wspomniany wcześniej aksjomat ciągłości. Wtedy "pewnik" Archimedesa jest twierdzeniem (podałem szkic jego dowodu).

Skoro wspomniałeś o ZFC, to dodam jeszcze, że dowodzi się (z aksjomatów ZFC), że istnieje ciało uporządkowane ze spełnionym aksjomatem ciągłości, czyli model aksjomatów struktury liczb rzeczywistych. Konstruuje się je kolejno poprzez liczby naturalne, całkowite i wymierne. Oznacza to tyle, że wszystkie aksjomaty liczb rzeczywistych są wtedy twierdzeniami.