Pierwiastkowanie modularne - krzywe eliptyczne

[Anski]

Cześć Wam,

Natknąłem się na problem, którego od dłuższego czasu nie mogę zrozumieć/rozwiązać dotyczy on arytmetyki modularnej w krzywych eliptycznych. Podstawowe działania z arytmetyki modularnej rozumiem ale na pierwiastkowaniu poległem.
Czy ktoś byłby w stanie mi rozpisać/wytłumaczyć co się dzieje (krok po kroku) w momencie wyliczania pierwiastka z delty w arytmetyce modularnej na moim konkretnym przypadku?

Przypadek:
Ciało \(\displaystyle{ F_{13} = \{0,1,2,...,12\}}\)
Równanie kwadratowe: \(\displaystyle{ x^{2} + 3x + 8 = 0}\)

Za daleko nie doszedłem ale deltę w oparciu o arytmetykę modularną obliczyłem:
\(\displaystyle{ \Delta = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 3}\)
Problem zaczyna się przy pierwiastkowaniu delty. Nie rozumiem tego wyniku. Dlaczego jest to \(\displaystyle{ 4}\) lub \(\displaystyle{ 9}\).
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 4}\) lub \(\displaystyle{ 9}\)

[Premislav]

W tym przypadku „pierwiastki z \(\displaystyle{ \Delta}\)" to takie elementy \(\displaystyle{ \ZZ_{13}}\), że ich kwadraty w \(\displaystyle{ \ZZ_{13}}\) są równe tyle, co ta \(\displaystyle{ \Delta}\). Czyli rozwiązujesz równanie \(\displaystyle{ y^2=3}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_{13}}\). No i rozwiązania to właśnie \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 9}\), a można to stwierdzić, podstawiając na pałę wszystkie elementy \(\displaystyle{ \ZZ_{13}}\) i sprawdzając, czy się zgadza lub używając jakichś sztuczek.

BTW moim zdaniem prościej byłoby zauważyć, że w \(\displaystyle{ \ZZ_{13}}\) mamy
\(\displaystyle{ x^2+3x+8=(x+8)^2-4=(x-3)(x+6)=(x-3)(x-7)}\), ale jak ktoś nie ma sprawności rachunkowej, to tego raczej nie zauważy.

[Anski]

Nareszcie widzę tę zależność. Dzięki za wytłumaczenie i poświęcony czas.
Natomiast sprawność rachunkowa u mnie leży.