Szczególny rozkład

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Szczególny rozkład

Post autor: mol_ksiazkowy »

Udowodnić że jeśli \(\displaystyle{ n> m}\) są liczbami naturalnymi, to \(\displaystyle{ n}\) można przedstawić sako sumę dwóch składników z których jeden jest dzielnikiem \(\displaystyle{ m}\) a drugi jest względnie pierwszy z \(\displaystyle{ m}\)
Chichot Hioba
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 4 maja 2019, o 20:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Szczególny rozkład

Post autor: Chichot Hioba »

Niech \(\displaystyle{ n,m \in \NN}\) i \(\displaystyle{ n > m}\).

Każdą liczbę \(\displaystyle{ n > 1}\) (gdzie \(\displaystyle{ 1}\) jest najmniejszą wartością jaką może przyjąć \(\displaystyle{ m}\)) da się przedstawić jako:
\(\displaystyle{ n = 1 + (n - 1)}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ 1}\) oczywiście jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ m,}\) dla dowolnego naturalnego \(\displaystyle{ m.}\)

Wiemy, że skoro \(\displaystyle{ n > m}\), to \(\displaystyle{ n-1 \ge m}\), więc zawsze: \(\displaystyle{ NWD\left\{ 1, n-1\right\} = 1}\)

Co kończy dowód.

I wiem, że to żaden szał, ale w momencie, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest wielokrotnością \(\displaystyle{ m}\) nie ma innego wyjścia.

W innych przypadkach można pobawić się w arytmetykę modularną i wykazać, że będą również inne takie rozkłady, ale autor zadania nie wymaga.
ODPOWIEDZ