Równanie z sześcianami

[mol_ksiazkowy]

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb całkowitych \(\displaystyle{ x^3-y^3=xy+25}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ (x-y)^3+3xy(x-y)=xy+25\\
x-y=t \wedge xy=k\\
t^3+3kt=k+25\\
k= \frac{25-t^3}{3t-1}}\)
Jednocześnie układ \(\displaystyle{ x-y=t \wedge xy=k}\) sprowadzony do równania: \(\displaystyle{ x^2-xt-k=0}\) ma szanse mieć rozwiązanie gdy \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\) , więc:
\(\displaystyle{ t^2+4k \ge 0\\
t^2+4 \cdot \frac{25-t^3}{3t-1} \ge 0\\
(3t-1)(-t^3-t^2+100) \ge 0}\)
Ponieważ jedyny rzeczywisty pierwiastek wielomianu \(\displaystyle{ W(t)=-t^3-t^2+100}\) wynosi około \(\displaystyle{ 4,331}\) to całkowite t przy których wyróżnik nie jest ujemny może przyjąć wartość: 1,2,3 lub 4.
Z tych czterech tylko dla \(\displaystyle{ t=1}\) liczba k jest całkowita \(\displaystyle{ k=12}\), i stąd jedynymi rozwiązaniami równania są pary:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=4 \\ y=3 \end{cases} \vee \begin{cases} x=-3 \\ y=-4 \end{cases}}\)

[Elayne]

Inaczej. Niech \(\displaystyle{ x + y = a}\) oraz \(\displaystyle{ x - y = b;}\) mamy zatem:
\(\displaystyle{ 1/8 \cdot (6a^2 b + 2b^3) = 1/4 \cdot (a^2 - b^2) + 25 \\
-a^2 + 3 a^2 b + b^2 + b^3 = 100 \\
-4 - 27 a^2 + 81 a^2 b + 27 b^2 + 27 b^3 = 2696 \\
27a^2 + (3b + 2)^2 = 2696/(3b - 1)}\)

Wynika z tego, że \(\displaystyle{ (3b - 1)}\) dzieli \(\displaystyle{ 2696.}\) Tylko dla dzielnika \(\displaystyle{ b = 1}\) dostajemy wynik w liczbach całkowitych:
\(\displaystyle{ 27a^2 + 25 = 1348 \ \Rightarrow \ a^2 = 49}\) skąd \(\displaystyle{ a = \pm 7}\). Mamy zatem dwa rozwiązania \(\displaystyle{ (x,y)=(4,3);(-3,-4).}\)