Ciąg i dzielniki
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Ciąg i dzielniki
Czy istnieje nieskończony monotoniczny ciąg arytmetyczny liczb naturalnych taki, że zbiór dzielników pierwszych wyrazów tego ciągu jest skończony ?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Ciąg i dzielniki
\(\displaystyle{ n}\)-ty wyraz takiego ciągu da się opisać wzorem
\(\displaystyle{ a_n=a+bn}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in \NN}\) (trywialne, \(\displaystyle{ a:=a_0, \ b:=a_1-a_0}\)), przepisujemy to w postaci
\(\displaystyle{ \NWD(a,b)\left( \frac{a}{\NWD(a,b)}+ \frac{b}{\NWD(a,b)}\cdot n \right)}\),
z twierdzenia Dirichleta w ciągu \(\displaystyle{ x_n=\frac{a}{\NWD(a,b)}+ \frac{b}{\NWD(a,b)}\cdot n}\)
występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych, więc odpowiedź na pytanie brzmi NIE.
Ewentualnie dla ciągu stałego o niezerowym naturalnym wyrazie to jest prawda, ale litości…-- 30 maja 2019, o 11:13 --Aha, powyższe nie działa dla \(\displaystyle{ a_0=0}\), ale wtedy sprawa jest dużo prostsza.
\(\displaystyle{ a_n=a+bn}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in \NN}\) (trywialne, \(\displaystyle{ a:=a_0, \ b:=a_1-a_0}\)), przepisujemy to w postaci
\(\displaystyle{ \NWD(a,b)\left( \frac{a}{\NWD(a,b)}+ \frac{b}{\NWD(a,b)}\cdot n \right)}\),
z twierdzenia Dirichleta w ciągu \(\displaystyle{ x_n=\frac{a}{\NWD(a,b)}+ \frac{b}{\NWD(a,b)}\cdot n}\)
występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych, więc odpowiedź na pytanie brzmi NIE.
Ewentualnie dla ciągu stałego o niezerowym naturalnym wyrazie to jest prawda, ale litości…-- 30 maja 2019, o 11:13 --Aha, powyższe nie działa dla \(\displaystyle{ a_0=0}\), ale wtedy sprawa jest dużo prostsza.