\(\displaystyle{ p _{1} \cdot p_{2} \cdot p_{3} \cdot p_{4} \cdot}\) (...)
Tutaj p to kolejne liczby pierwsze. Postaram się to możliwie najprościej wyjaśnić. Przyda się tu sito Eratostenesa. Sito tworzymy zaznaczając na osi wielokrotności kolejnych liczb pierwszych zaczynając od ich kwadratów. Dla 2 oznaczyć należy co drugą liczbę zaczynając od 4, następnie oznaczamy wielokrotności 3 zaczynając od 9.
Kod: Zaznacz cały
https://i.postimg.cc/gJm28VwY/Obrazek1.pngPrzy oznaczaniu wielokrotności kolejnej liczby pierwszej (tu 3) natrafiamy na sytuację w której pewne pola oznaczone sa kolejny raz. Skupmy się na tych polach które są oznaczane pierwszy raz:
Kod: Zaznacz cały
https://i.postimg.cc/fWHRS0MN/Obrazek2.pngPołowa "trójek" dubluje się z dwójkami jako dzielnik dlatego zaznaczamy co drugą. Biorąc pod uwagę 3 i niższe liczby pierwsze, 3 dzieli samodzielnie na co szóstej pozycji na osi liczbowej. 6/3=2 więc dla zbioru dzielników pierwszych <2,3> 3 dzieli samodzielnie w cyklu który można określić liczbą 2. Dla 2 cykl obrazuje liczba 1 ponieważ 2/2=1.
Dodajmy teraz 5. Dla zbioru dzielników pierwszych <2,3,5> 5 dzieli samodzielnie swój kwadrat a potem 35 i 55, następnie 65 i 85, potem 95 i 115. Najpierw co 10 a potem co 20 i cykl się powtarza. 10/5=2 a 20/5=4 dlatego ten cykl obrazują liczby 2 i 4.
Następnie dodajmy 7. Dla zbioru liczb pierwszych <2,3,5,7> 7 dzieli samodzielnie w cyklu 4,2,4,2,4,6,2,6. To znaczy, że dzieli samodzielnie na liczbach 49 a potem wg. cyklu: 49+4*7, 49+4*7+2*7, 49+4*7+2*7+4*7 itd. Tak jak poprzednie cykl powtarza się w nieskończonośc na osi liczbowej.
https://i.postimg.cc/Hxzs2r5b/Obrazek3.png
Na obrazku nie widać całego cyklu dla 7, obrazki wstawiam tylko, żeby mój tok rozumowania był jasny. W Excel można stworzyć arkusz do sprawdzania wyliczeń czy cykl się zgadza - właśnie czymś takim badałem temat.
Analogiczny cykl krotności dla 11 to: 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 8, 6, 4, 6, 2, 4, 6, 2, 6, 6, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 2, 10, 2, 10. Szereg który obrazuje cykl ma 48 elementów. Cykl dla 13 ma ich już 480 ale również tak jak poprzednie zapętla się.
Poniższa tabela zawiera szeregi liczb które obrazują wyżej opisane cykle dla pierwszych 6 liczb pierwszych a także sumę elementów w szeregu:
https://i.postimg.cc/Wz4pfs6C/Obrazek4.png
Z powyższego wynika, że dla \(\displaystyle{ p_{n}}\) suma szeregu jest równa iloczynowi wszystkich \(\displaystyle{ p_{<n}}\) czyli \(\displaystyle{ p_{1} \cdot p_{2} \cdot (...) \cdot p_{n-1}}\) przykładowo dla 13 suma wynosi 2310 czyli tyle samo co \(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11}\)
Oprócz sum szeregów ciekawe są też iloczyny ich elementów powiększone lub pomniejszone o 1, jednak nie wiem czy wszystkie szeregi kreują liczby pierwsze w ten sposób bo nie mogę łatwo sprawdzić pierwszości takich liczb jak np. 17'646'041'011'097'300'076'645'580'801 (iloczyn szeregu dla 11 powiększony o 1).
Ciekawie wygląda też szereg tworzony przez liczbę elementów w kolejnych szeregach: 1,1,2,8,48,480 wygląda to tak jakby:
\(\displaystyle{ a_{1} = 1}\)
\(\displaystyle{ a_{2} = 1}\)
a następnie:
\(\displaystyle{ a_{n} = ( a_{1} + a_{2} + (...) + a_{n-1} ) 2^{n-3}}\)
Zauważyłem to oglądając zapętlające się szeregi, nie mam matematycznego dowodu na to, że zapętlają się w nieskończoność. Nie widzę niczego co mogło by je w tym zmącić. Traktuję to jako hipotezę a nie twierdzenie.
Prośba do użytkowników forum o opinie na ww. temat. Jeżeli to spostrzeżenie da się lepiej zapisać symbolami matematycznymi to również prosiłbym o uwagi na ten temat. Obrazków nie wklejałem tylko linki bo się okazało, że są za szerokie.
