Przedstawienie dużych liczb

[Brombal]

Zauważyliście Państwo, że ogromne liczby pierwsze przedstawiane są przez odkrywców w postaci
\(\displaystyle{ a ^{b} \pm c}\)
Czy domyślacie się jak można uzyskać podobny efekt skrócenia zapisu liczby o bardzo wielu cyfrach?
Pętle wyszukujące logarytmy nieodległe od cechy logarytmu są powolne a efekty są mizerne.

[Chichot Hioba]

Rozumiem, że \(\displaystyle{ a^1 + 0}\) nas nie ciekawi?

może być problem z pokazaniem na przykład liczby \(\displaystyle{ 110}\)

\(\displaystyle{ 10^2 = 100, 11^2 = 121,}\)

\(\displaystyle{ 4^3 = 64, 5^3 = 125,}\)

\(\displaystyle{ 2^6 = 64, 2^7 = 128}\)

Także jak chcemy zmieścić \(\displaystyle{ c}\) w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\right\}}\), to może być ciężko.


Jeżeli chodzi o liczby pierwsze, może to takie przedstawianie może być spowodowane sposobem szukania, na przykład wśród liczb Mersenne'a, stąd postać \(\displaystyle{ 2^b - 1}\).

[Brombal]

A co powiesz na największe znane liczby bliźniacze
\(\displaystyle{ 2996863034895 \cdot 2^{1290000} \pm 1}\)
ale największą znana liczbę pierwsza to czysty Mersen

[Chichot Hioba]

Bo poza \(\displaystyle{ n = 2}\) liczby bliźniacze nie mają prawa być postaci \(\displaystyle{ 2^n \pm 1}\), bo:

\(\displaystyle{ 2^n - 1, 2^n, 2^n+1}\) jako trzy kolejne liczby naturalne mają pośród siebie jedna podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\) nie jest to z pewnością \(\displaystyle{ 2^n}\), zatem jeżeli jedna z tych liczb jest liczbą pierwszą o druga już nie może, dlatego przy szukaniu liczb bliźniaczych trzeba sobie radzić inaczej.
Ale szczerze mówiąc - nie mam pojęcia jak oni to zrobili.

[a4karo]

A może dla liczb takiej postaci istnieją lepsze algorytmy weryfikacji pewnych własności?

[Brombal]

A może dla liczb takiej postaci istnieją lepsze algorytmy weryfikacji pewnych własności?

Chodzi o małego Fermata?
Z pewnych właściwości rozmieszczenia liczb bliźniaczych usiłowałem znaleźć potencjalnie następne liczby bliźniacze niestety test AKS dla tak "niewielkiej" liczby (200700 cyfr) po dwóch dniach mi się znudził. A przecież ktoś sprawdzał przez miesiąc na zwykłym kompie liczbę 25 mln- cyfr.
Próbowałem wyszukiwania w pętlach ilorazu logarytmów liczby upraszczanej i innej szukanej. Logarytmy i iloraz muszą być liczone z dokładnością co najmniej zbliżoną do ilości cyfr liczby upraszczanej i jak najbliższy liczbie całkowitej.
Program powolny a efekt to marna dokładność do 8-10 miejsc po przecinku dla setek milionów kombinacji.
;-(
Jedyny sukces to to, że wymyśliłem sposób na obliczanie silni o długości (po wydruku czcionką Arial 10) z Wrocławia do Warszawy w 8 min. na zwykłym lapku.

[Chichot Hioba]

Brombal, może chodzić choćby o prozaiczny fakt, że komputery działają w systemie dwójkowym.

[Brombal]

To jednak musi być inna przyczyna związana z procesem wyszukiwania.
Weźmy liczbę niewielką \(\displaystyle{ 10^{20}}\) ile jest "w okolicach" tej liczby liczb w postaci "ładnej" \(\displaystyle{ a^b}\) - odpowiedź brzmi ok. 65 szt. Dodajmy do tego dodatkowy zakres dla liczb w postaci "nieco brzydszej" \(\displaystyle{ a^b \pm c}\) gdzie \(\displaystyle{ c< 10^{10}}\) Wychodzi na to że w okolicach niewielkiej liczby jest ok. \(\displaystyle{ 130 \cdot 10^{10}}\) stąd "gęstość" " liczb niebrzydkich" wynosi ok \(\displaystyle{ \frac{1}{76923076923}}\) Trafienie z ładniusią liczbą jest jeszcze mniej realne dla większej liczby.