Ustal ilość liczb pierwszych dla danego n

[Chichot Hioba]

Umieszczę oszacowanie jakie jeszcze tutaj nie padło, mianowicie z postulatu Bertranda wiemy, że pomiędzy dowolną dodatnią liczbą naturalną a jej dwukrotnością jest liczba pierwsza (przy czym dla \(\displaystyle{ n = 1}\) jest ona równa \(\displaystyle{ 2n}\), w pozostałych wypadkach z oczywistych względów - nie).

Więc zaczynając od pierwszej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p_1 = 2}\) kolejna będzie mniejsza niż \(\displaystyle{ 2p_1}\), kolejna \(\displaystyle{ 2 \cdot 2p_1}\) itd. zatem jak łatwo widać \(\displaystyle{ p_k \le 2^k}\).

Niewiele to pomaga, ale ciut bliżej.

Satysfakcjonowałoby mnie "już" ograniczenie \(\displaystyle{ p_k < k^2}\) dla \(\displaystyle{ k = 2,3,4,\dots}\)

Ale na razie widzę, że jest to w kategoriach matematycznych marzeń.

[Brombal]

Wydaje mi się, że nie tędy droga.
Należy porównać \(\displaystyle{ p!}\) i \(\displaystyle{ n!}\) gdzie \(\displaystyle{ n=p}\). To pierwsze jest częścią tego drugiego i to zgodnie z własnym przyrostem zależnie od przyrostu \(\displaystyle{ p!}\)

[Straczynski]

Tzw. funkcja \(\displaystyle{ \pi}\) wyznacza to z przybliżeniem.

[Chichot Hioba]

Straczynski, dziękuję. Premislav wspomniał już o twierdzeniu o liczbach pierwszych, o którym mówisz. Jednak mam z nim (twierdzeniem, nie Premislavem ) problem tego typu, że trudno określić kiedy mamy przybliżenie z nadmiarem, a kiedy z niedomiarem. Stąd dużo bardziej zainteresowały mnie zaproponowane ograniczenia liczby \(\displaystyle{ p_k}\) z góry.

Po przemyśleniu doszedłem do tego, że ograniczenie: \(\displaystyle{ p_k < k^2}\) dla \(\displaystyle{ k = 2,3,4,\dots}\) jest dla mnie jak na razie wystarczające, chyba tak będzie prościej. Chociaż kto wie, może oryginalne podejście (przedstawione w opisie do pytania) okaże się łatwiejsze do rozważania dla kogoś.

[Straczynski]

Nie wiem jak to się ma do \(\displaystyle{ n}\) z pierwszego posta ale \(\displaystyle{ p_k < k^2}\) zachodzi dla \(\displaystyle{ k > 1}\)

[Chichot Hioba]

Straczynski, tak jest, tylko chodzi nam jeszcze o dowód tego faktu.

[Straczynski]

Dla kolejnych \(\displaystyle{ k}\) rośnie proporcja \(\displaystyle{ \frac{ p_{k} }{k}}\) wynika to wprost z twierdzenia o liczbach pierwszych. Jeżeli są one coraz rzadsze to kolejne są coraz wyższe względem ich numeru porządkowego \(\displaystyle{ k}\) jednocześnie maleje proporcja \(\displaystyle{ \frac{ p_{k} }{ k^{2} }}\). Wynika to z tego, że funkcja \(\displaystyle{ k^{2}}\) ma większy postęp od wzrastającego \(\displaystyle{ \frac{ p_{k} }{k}}\)

Edycja 01.06.2019 23:42: usunąłem określenie (wykładnicza) błędnie użyłem tego określenia.

[Chichot Hioba]

Dla kolejnych \(\displaystyle{ k}\) rośnie proporcja \(\displaystyle{ \frac{ p_{k} }{k}}\) wynika to wprost z twierdzenia o liczbach pierwszych.

Kontrprzykład:

\(\displaystyle{ \frac{p_5}{5} > \frac{p_6}{6}}\)

Bo \(\displaystyle{ \frac{11}{5} > \frac{13}{6}}\)

Różnica między liczbami pierwszymi bywa bardzo mała, na przykład 2. Mimo, że faktycznie się rozrzedzają w ogólności, to nie można sobie pozwolić na takie przybliżenia.

jednocześnie maleje proporcja \(\displaystyle{ \frac{ p_{k} }{ k^{2} }}\).

Dowód tego faktu już by mnie cieszył.

[Straczynski]

Odnośnie pierwszego ułamka oczywiście masz rację, liczby pierwsze bliźniacze sprawiają, że to działa inaczej - powinienem uwzględnić to, że jest tam niemonotoniczność.

Jeśli chodzi o \(\displaystyle{ \frac{ p_{k}}{ k^{2} }}\) to postaram się odnieść bardziej szczegółowo.

Edycja:

\(\displaystyle{ p_{k} \in N}\) bo \(\displaystyle{ P \in N}\) więc z twierdzenia Bertranda-Czebyszewa wiadomo, że \(\displaystyle{ p_{k} < p_{k+b} \le 2p_{k}}\) gdzie wszystkie \(\displaystyle{ p_{k+b}}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ b \ge 1}\) i \(\displaystyle{ b \in N}\). Wiadomo, że istnieje co najmniej jedno \(\displaystyle{ p_{k+b}}\) dla którego \(\displaystyle{ b=1}\)

Z powyższego wynika, że \(\displaystyle{ p_{k}}\) może wynieść maksymalnie \(\displaystyle{ 2p_{k-1}-1}\) (co sam wyżej zauważyłeś, -1 bo musi być nieparzysta) uwzględniając tą maksymalną wartość (mimo iż, może być niższa) możemy stworzyć 2 funkcje:

\(\displaystyle{ f(x) = x^{2}}\)
\(\displaystyle{ f(x) = 2p_{x-1}-1}\) gdzie \(\displaystyle{ p}\) to kolejne liczby pierwsze dla których \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą porządkową jak twoje \(\displaystyle{ k}\) (użyłem innego symbolu z uwagi na to jak oznacza się funkcję i oś).

Pierwsza przyjmuje wyższe wartości, wiem, że to nadal nie dowód bo sam fakt, że pojawia się tam \(\displaystyle{ p}\) już wymaga odniesienia do twierdzeń dotyczących zagęszczenia liczb pierwszych na osi liczbowej - nie umiem ich przetworzyć i tu poległem - uważam, że tego się nie uniknie.

Poprawiłem też poprzedni post bo wczoraj błędnie nazwałem funkcję wykładniczą mimo iż to tylko kwadrat (notatka w poście) - za pomyłkę przepraszam.

[Chichot Hioba]

Straczynski, niestety postulat Bertranda jest daleko mniej subtelnym ograniczeniem, niż to, którego potrzebuję.

Bo tak jak mówiłem, wprost z tego postulatu wynika: \(\displaystyle{ p_k < 2^k}\), temu natomiast jeszcze daleko do \(\displaystyle{ p_k < k^2.}\)
Czekamy na niepokornych, którzy się wezmą za problem i go rozwalą.

[Janusz Tracz]

Dla \(\displaystyle{ k \ge 6}\) zachodzi oszacowanie:

\(\displaystyle{ \ln k+\ln \ln k-1< \frac{p_k}{k} <\ln k+\ln \ln k}\)

Natomiast \(\displaystyle{ \ln k+\ln \ln k <k}\) zawsze zatem \(\displaystyle{ p_k<k^2}\). Pierwsze oszacowanie jest uogólnieniem prac

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Rosser%27s_theorem

później jeszcze modyfikowanych do powyższej postaci

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem

. Istnieją też ciaśniejsze oszacowania dla \(\displaystyle{ k \ge 20}\) zachodzi nawet:

\(\displaystyle{ \frac{p_k}{k} <\ln k+\ln \ln k- \frac{1}{2}}\)

Piszą o tym J. B. Rosser wraz z L. Schoenfeld w pracy [url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ijm/1255631807]APPROXIMATE FORMULAS FOR SOME FUNCTIONS OF
PRIME NUMBERS[/url]

[Bran]

Janusz Tracz, bardzo interesujące linki!

Wiesz może, czy hipoteza Legandre'a jest nadal nieudowodniona? Mam na myśli hipotezę, która mówi, że dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieje przynajmniej jedna taka liczba pierwsza, która należy do przedziału \(\displaystyle{ \left( n^2, (n+1)^2\right).}\)

Bo to ograniczenie (o którym nie wiedziałem ) wygląda bardzo obiecująco...

[Janusz Tracz]

W książce Marka Zakrzewskiego "teoria liczb" z roku 2017 (październik) można wyczytać iż hipoteza jest nieudowodniona natomiast w internecie najnowsze informacje o jakich wiem są z 25 marca 2019 również brak dowodu. Częściowe rezultaty osiągnęli R. C. Baker, G. Harman, J. Pintz w 2016. Warte wspomnienia są osiągnięcia Chena Jingruna który w 1975 udowodnił twierdzenie mówiące, że pomiędzy \(\displaystyle{ n^2}\) a \(\displaystyle{ (n+1)^2}\) zawsze znajdziemy liczbę pierwszą bądź półpierwszą (czyli liczbę będącą iloczynem dwóch liczb pierwszych). Swoją drogą to co matematycy wiedzą (mają udowodnione) a to czego się spodziewają to dwie kompletnie różne rzeczy, przypuszcza się, że pomiędzy \(\displaystyle{ n^2}\) a \(\displaystyle{ (n+1)^2}\) leży nawet \(\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor}\) liczb pierwszych o czym też piszę Marek Zakrzewski. Oczywiście to jest życzenie dużo mocniejsze.