Zbiór liczb pierwszych
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11406
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Zbiór liczb pierwszych
Wyznaczyć największą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\), dla której istnieje \(\displaystyle{ n}\)-elementowy zbiór liczb pierwszych taki, że suma trzech dowolnych liczb z tego zbioru jest liczbą pierwszą
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Zbiór liczb pierwszych
Wśród tych liczb pierwszych nie może być trzech lub więcej przystających do \(\displaystyle{ 1\pmod{6}}\), bo wtedy moglibyśmy wybrać trzy, których suma byłaby większa niż \(\displaystyle{ 3}\) i podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\). Analogicznie nie może być trzech lub więcej przystających do \(\displaystyle{ 5\pmod{6}}\).
Jeśli zaszłoby \(\displaystyle{ n>3}\), to wśród liczb pierwszych w tym zbiorze \(\displaystyle{ n}\)-elementowym nie może być dwójki (bo suma trzech, w tym dwójki, byłaby parzysta i większa niż \(\displaystyle{ 2}\)). Poza tym jeśli \(\displaystyle{ n>3}\), to w realizującym warunki zadania zbiorze \(\displaystyle{ n}\)-elementowym nie może być jednocześnie liczby \(\displaystyle{ 3}\), co najmniej jednej liczby przystającej do \(\displaystyle{ 5\pmod{6}}\) i co najmniej jednej przystającej do \(\displaystyle{ 5\pmod{6}}\), gdyż znów suma takich trzech liczb byłaby w oczywisty sposób złożona.
To po chwili namysłu prowadzi do \(\displaystyle{ n\le 4}\) i równość jest realizowana przez zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 7,11, 13, 23\right\}}\).
Jeśli zaszłoby \(\displaystyle{ n>3}\), to wśród liczb pierwszych w tym zbiorze \(\displaystyle{ n}\)-elementowym nie może być dwójki (bo suma trzech, w tym dwójki, byłaby parzysta i większa niż \(\displaystyle{ 2}\)). Poza tym jeśli \(\displaystyle{ n>3}\), to w realizującym warunki zadania zbiorze \(\displaystyle{ n}\)-elementowym nie może być jednocześnie liczby \(\displaystyle{ 3}\), co najmniej jednej liczby przystającej do \(\displaystyle{ 5\pmod{6}}\) i co najmniej jednej przystającej do \(\displaystyle{ 5\pmod{6}}\), gdyż znów suma takich trzech liczb byłaby w oczywisty sposób złożona.
To po chwili namysłu prowadzi do \(\displaystyle{ n\le 4}\) i równość jest realizowana przez zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 7,11, 13, 23\right\}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Zbiór liczb pierwszych
LiterówkaPremislav pisze:Wśród tych liczb pierwszych nie może być trzech lub więcej przystających do \(\displaystyle{ 1\pmod{6}}\), bo wtedy moglibyśmy wybrać trzy, których suma byłaby większa niż \(\displaystyle{ 3}\) i podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\). Analogicznie nie może być trzech lub więcej przystających do \(\displaystyle{ 5\pmod{6}}\).
Jeśli zaszłoby \(\displaystyle{ n>3}\), to wśród liczb pierwszych w tym zbiorze \(\displaystyle{ n}\)-elementowym nie może być dwójki (bo suma trzech, w tym dwójki, byłaby parzysta i większa niż \(\displaystyle{ 2}\)). Poza tym jeśli \(\displaystyle{ n>3}\), to w realizującym warunki zadania zbiorze \(\displaystyle{ n}\)-elementowym nie może być jednocześnie liczby \(\displaystyle{ 3}\), co najmniej jednej liczby przystającej do \(\displaystyle{ {\red 1}\pmod{6}}\) i co najmniej jednej przystającej do \(\displaystyle{ 5\pmod{6}}\), gdyż znów suma takich trzech liczb byłaby w oczywisty sposób złożona.
To po chwili namysłu prowadzi do \(\displaystyle{ n\le 4}\) i równość jest realizowana przez zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 7,11, 13, 23\right\}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 4 maja 2019, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 5 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Zbiór liczb pierwszych
Chichot Hioba, nie wiem, to raczej za trudne pytanie dla mnie. Trudność tego pytania w moim przekonaniu wynika z tego, że w ogólności dzielniki składników niewiele nam mówią o możliwych dzielnikach sumy. W każdym razie zadanie z wątku to poziom żłobka w porównaniu z Twoim pytaniem.