Zbiór liczb pierwszych

[mol_ksiazkowy]

Wyznaczyć największą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\), dla której istnieje \(\displaystyle{ n}\)-elementowy zbiór liczb pierwszych taki, że suma trzech dowolnych liczb z tego zbioru jest liczbą pierwszą

[Premislav]

Wśród tych liczb pierwszych nie może być trzech lub więcej przystających do \(\displaystyle{ 1\pmod{6}}\), bo wtedy moglibyśmy wybrać trzy, których suma byłaby większa niż \(\displaystyle{ 3}\) i podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\). Analogicznie nie może być trzech lub więcej przystających do \(\displaystyle{ 5\pmod{6}}\).
Jeśli zaszłoby \(\displaystyle{ n>3}\), to wśród liczb pierwszych w tym zbiorze \(\displaystyle{ n}\)-elementowym nie może być dwójki (bo suma trzech, w tym dwójki, byłaby parzysta i większa niż \(\displaystyle{ 2}\)). Poza tym jeśli \(\displaystyle{ n>3}\), to w realizującym warunki zadania zbiorze \(\displaystyle{ n}\)-elementowym nie może być jednocześnie liczby \(\displaystyle{ 3}\), co najmniej jednej liczby przystającej do \(\displaystyle{ 5\pmod{6}}\) i co najmniej jednej przystającej do \(\displaystyle{ 5\pmod{6}}\), gdyż znów suma takich trzech liczb byłaby w oczywisty sposób złożona.
To po chwili namysłu prowadzi do \(\displaystyle{ n\le 4}\) i równość jest realizowana przez zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 7,11, 13, 23\right\}}\).

[a4karo]

Wśród tych liczb pierwszych nie może być trzech lub więcej przystających do \(\displaystyle{ 1\pmod{6}}\), bo wtedy moglibyśmy wybrać trzy, których suma byłaby większa niż \(\displaystyle{ 3}\) i podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\). Analogicznie nie może być trzech lub więcej przystających do \(\displaystyle{ 5\pmod{6}}\).
Jeśli zaszłoby \(\displaystyle{ n>3}\), to wśród liczb pierwszych w tym zbiorze \(\displaystyle{ n}\)-elementowym nie może być dwójki (bo suma trzech, w tym dwójki, byłaby parzysta i większa niż \(\displaystyle{ 2}\)). Poza tym jeśli \(\displaystyle{ n>3}\), to w realizującym warunki zadania zbiorze \(\displaystyle{ n}\)-elementowym nie może być jednocześnie liczby \(\displaystyle{ 3}\), co najmniej jednej liczby przystającej do \(\displaystyle{ {\red 1}\pmod{6}}\) i co najmniej jednej przystającej do \(\displaystyle{ 5\pmod{6}}\), gdyż znów suma takich trzech liczb byłaby w oczywisty sposób złożona.
To po chwili namysłu prowadzi do \(\displaystyle{ n\le 4}\) i równość jest realizowana przez zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 7,11, 13, 23\right\}}\).

Literówka

[Premislav]

A faktycznie, dziękuję, o to chodziło.

[Chichot Hioba]

Premislav, takich czwórek może być dowolnie dużo?

[Premislav]

Chichot Hioba, nie wiem, to raczej za trudne pytanie dla mnie. Trudność tego pytania w moim przekonaniu wynika z tego, że w ogólności dzielniki składników niewiele nam mówią o możliwych dzielnikach sumy. W każdym razie zadanie z wątku to poziom żłobka w porównaniu z Twoim pytaniem.