Mam do zrobienia 1 zadanie i w ogóle nie wiem jak je zrobić.
" Udowodnij, że jeżeli żadna z liczb: \(\displaystyle{ n-1}\) , \(\displaystyle{ n+1}\) nie jest podzielna przez 5 to liczba \(\displaystyle{ n^{2} +1}\) dzieli się przez 5.
Dzięki za wszelką pomoc.
Udowodnij..... podzielność przez 5
-
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
Udowodnij..... podzielność przez 5
By n-1, n+1 nie były podzielne przez 5 muszą spełniać jeden z dwu warunków:
1°
n-1=5k+1 (n-1 przy dzieleniu przez 5 daje resztę1)
Wówczas:
\(\displaystyle{ n^2+1=(5k+2)^2+1=25k^2+20k+5=5(5k^2+4k+1)}\)
co oznacza podzielność przez 5.
2°
n-1=5k+2 (n-1 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2)
i analogicznie do 1° łatwo udowodnić podzielność przez 5.
1°
n-1=5k+1 (n-1 przy dzieleniu przez 5 daje resztę1)
Wówczas:
\(\displaystyle{ n^2+1=(5k+2)^2+1=25k^2+20k+5=5(5k^2+4k+1)}\)
co oznacza podzielność przez 5.
2°
n-1=5k+2 (n-1 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2)
i analogicznie do 1° łatwo udowodnić podzielność przez 5.