rozdzielność nwd względem nww

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
konstytucja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 9 maja 2019, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

rozdzielność nwd względem nww

Post autor: konstytucja »

Dowieść, że dla wszelkich liczb naturalnych \(\displaystyle{ a, \ b, \ c}\) mamy
\(\displaystyle{ NWW(NWD(a,b),c)=NWD(NWW(a,c),NWW(b,c))}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: rozdzielność nwd względem nww

Post autor: Premislav »

Ustalmy dowolną liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\), która dzieli którąś z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) (krócej można powiedzieć, że dzieli iloczyn, bo gdy liczba pierwsza dzieli iloczyn, to musi dzielić co najmniej jeden z czynników). Niech \(\displaystyle{ p}\) wchodzi do rozkładu \(\displaystyle{ a}\) na czynniki pierwsze z wykładnikiem \(\displaystyle{ x_a\in \NN}\) (potencjalnie łącznie z zerem), do rozkładu \(\displaystyle{ b}\) z wykładnikiem \(\displaystyle{ x_b\in \NN}\) i do rozkładu \(\displaystyle{ c}\) z wykładnikiem \(\displaystyle{ x_c\in \NN}\).
Wówczas \(\displaystyle{ p}\) występuje:
– w rozkładzie \(\displaystyle{ \NWD(a,b)}\) na czynniki pierwsze z wykładnikiem \(\displaystyle{ \min\left\{ x_a, x_b\right\}}\);
– w rozkładzie \(\displaystyle{ \NWW(a,c)}\) na czynniki pierwsze z wykładnikiem \(\displaystyle{ \max\left\{x_a, x_c\right\}}\);
– w rozkładzie \(\displaystyle{ \NWW(b,c)}\) na czynniki pierwsze z wykładnikiem \(\displaystyle{ \max\left\{x_b, x_c \right\}}\)
czyli w rozkładzie liczby
\(\displaystyle{ \NWW(\NWD(a,b), c)}\) liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) występuje z wykładnikiem \(\displaystyle{ \max\left\{ \min\left\{ x_a, x_b\right\}, x_c \right\}}\), zaś w rozkładzie
\(\displaystyle{ \NWD(\NWW(a,c), \NWW(b,c))}\) liczba \(\displaystyle{ p}\) występuje z wykładnikiem
\(\displaystyle{ \min\left\{ \max\left\{x_a, x_c \right\}, \max\left\{ x_b, x_c\right\} \right\}}\).
Pokażemy więc, że
\(\displaystyle{ \max\left\{ \min\left\{ x_a, x_b\right\}, x_c \right\}=\min\left\{ \max\left\{x_a, x_c \right\}, \max\left\{ x_b, x_c\right\} \right\}}\)
W tym celu wygodnie jest rozważyć trzy przypadki:

1. Jeśli \(\displaystyle{ x_c}\) jest środkową liczbą, to
\(\displaystyle{ \max\left\{ \min\left\{ x_a, x_b\right\}, x_c \right\}=x_c}\), ponieważ wówczas \(\displaystyle{ \min\left\{ x_a, x_b\right\}\le x_c}\). Ponadto
\(\displaystyle{ \max\left\{ x_a, x_c\right\} =x_c \vee \max\left\{ x_b, x_c\right\} =x_c}\) (gdyż w rozważanym przypadku istnieje liczba z pozostałej dwójki nie większa niż \(\displaystyle{ x_c}\)), a także zachodzą oczywiste nierówności \(\displaystyle{ x_c\le \max\left\{ x_a, x_c\right\}, \ x_c\le \max\left\{ x_b, x_c\right\}}\). Zatem \(\displaystyle{ \min\left\{ \max\left\{x_a, x_c \right\}, \max\left\{ x_b, x_c\right\} \right\}
=x_c}\)
, czyli
w tym przypadku istotnie zachodzi \(\displaystyle{ \max\left\{ \min\left\{ x_a, x_b\right\}, x_c \right\}=\min\left\{ \max\left\{x_a, x_c \right\}, \max\left\{ x_b, x_c\right\} \right\}}\)

2. Jeśli \(\displaystyle{ x_c=\max\left\{ x_a, x_b, x_c\right\}}\), to \(\displaystyle{ \max\left\{ \min\left\{ x_a, x_b\right\}, x_c \right\}=x_c=\min\left\{ \max\left\{x_a, x_c \right\}, \max\left\{ x_b, x_c\right\} \right\}}\)
(oba maksima pod tym minimum po prawej są równe \(\displaystyle{ x_c}\)).

3. Jeśli \(\displaystyle{ x_c=\min\left\{ x_a, x_b, x_c\right\}}\), to
\(\displaystyle{ \max\left\{ \min\left\{ x_a, x_b\right\}, x_c \right\}=\min\left\{ x_a, x_b\right\}= \min\left\{ \max\left\{x_a, x_c \right\}, \max\left\{ x_b, x_c\right\} \right\}}\)
(bo \(\displaystyle{ \max\left\{x_a, x_c \right\}=x_a}\) i \(\displaystyle{ \max\left\{ x_b, x_c\right\}=x_b}\)).

To, wobec dowolności \(\displaystyle{ p\in \PP}\), kończy dowód.
konstytucja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 9 maja 2019, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Re: rozdzielność nwd względem nww

Post autor: konstytucja »

Dzięki, tyle nad tym siedziałem i nie wpadłem na tak prosty dowód
ODPOWIEDZ