Potęgi liczby pierwszej

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Potęgi liczby pierwszej

Post autor: mol_ksiazkowy »

Czy istnieją liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a, b, c}\) oraz \(\displaystyle{ p>2}\) liczba pierwsza takie, ze każda z liczb \(\displaystyle{ ab-c}\), \(\displaystyle{ ac-b}\), \(\displaystyle{ bc-a}\) jest całkowitą potęgą \(\displaystyle{ p}\) ?
Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Re: Potęgi liczby pierwszej

Post autor: Rozbitek »

Niech \(\displaystyle{ x,y,z \in \ZZ}\)

Wtedy mamy
\(\displaystyle{ ab - c = p^x}\)
\(\displaystyle{ ac - b = p^y}\)
\(\displaystyle{ bc - a = p^z}\)

Weźmy pierwsze równanie:
\(\displaystyle{ ab - c = p^x}\) gdy podzielimy stronami przez \(\displaystyle{ p}\) otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{ab-c}{p} = p^{x-1}}\)

\(\displaystyle{ c}\) jako reszta z dzielenia \(\displaystyle{ ab}\) przez \(\displaystyle{ p}\) jest mniejsza niż \(\displaystyle{ p}\).

Analogicznie z drugiego i trzeciego równania otrzymujemy \(\displaystyle{ b < p}\) i \(\displaystyle{ a < p}\).

Zatem każda z tych różnic może być maksymalnie równa \(\displaystyle{ (p-1)^2 - 1}\) co jest w oczywisty sposób mniejsze od \(\displaystyle{ p^2}\). To oznacza, ze każda z tych różnica jest równa \(\displaystyle{ p}\).

Ale to nie możliwe, bo w takim razie zachodzi:

\(\displaystyle{ ab - c = ac - b\\ \\
ab - ac = c - b\\ \\
a = \frac{c-b}{b-c}}\)

zakładając, że \(\displaystyle{ b}\) jest różne od \(\displaystyle{ c}\), to \(\displaystyle{ a < 0}\) co jest sprzeczne z założeniem.

Co się stanie, gdy \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) są równe?
Wtedy z równania:
\(\displaystyle{ ac - b = p^y}\)

\(\displaystyle{ ab - b = b(a-1)}\) co przeczy pierwszości \(\displaystyle{ p}\).
Co kończy dowód.


Oczywiście to wszystko dla \(\displaystyle{ x,y,z \ge 2}\)

Gdy są mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\), to przeczy temu, że różnice są całkowite (jako kombinacja mnożenia i odejmowania liczb całkowitych).

Gdy są równe \(\displaystyle{ 1}\), to rozumowanie jest analogiczne do powyższego.

Zatem nie istnieją takie liczby całkowite.
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 554
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 107 razy

Re: Potęgi liczby pierwszej

Post autor: MrCommando »

Rozbitek pisze:Niech \(\displaystyle{ x,y,z \in \ZZ}\)

Wtedy mamy
\(\displaystyle{ ab - c = p^x}\)
\(\displaystyle{ ac - b = p^y}\)
\(\displaystyle{ bc - a = p^z}\)

Weźmy pierwsze równanie:
\(\displaystyle{ ab - c = p^x}\) gdy podzielimy stronami przez \(\displaystyle{ p}\) otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{ab-c}{p} = p^{x-1}}\)

\(\displaystyle{ c}\) jako reszta z dzielenia \(\displaystyle{ ab}\) przez \(\displaystyle{ p}\) jest mniejsza niż \(\displaystyle{ p}\).
.
To niestety wygląda bez sensu, skąd wniosek, że \(\displaystyle{ c}\) to reszta z dzielenia? Wcale nie musi tak być.
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Potęgi liczby pierwszej

Post autor: Brombal »

Jedno jest pewne. Jeżeli istnieje rozwiązanie, to dokładnie jedna z liczb \(\displaystyle{ a, b, c}\) jest parzysta
a| b| c|ab-c|ac-b|bc-a

p p p p p p
p p n n p p
p n p p n p
p n n n n n - możliwe
n p p p p n
n p n n n n - możliwe
n n p n n n - możliwe
n n n p p p-- 5 maja 2019, o 16:20 --Odpowiedź brzmi nie ma takich liczb. Chyba...
Zapiszmy równania i dodajmy literek
\(\displaystyle{ ab-c=p^n}\)
\(\displaystyle{ ac-b=p^k}\)
\(\displaystyle{ bc-a=p^l}\)

Zapiszmy to tak
\(\displaystyle{ c=ab-p^n}\)
\(\displaystyle{ b=ac-p^k}\)
\(\displaystyle{ a=bc-p^l}\)
Po wzięciu dwóch równań i wstawieniu do trzeciego otrzymamy
\(\displaystyle{ a(abc-bp^k-cp^n-1)=p^l-p^{n+k}}\)
jak widać
\(\displaystyle{ a|(p^l-p^{n+k})}\)
Dla innych kombinacji
\(\displaystyle{ b|(p^k-p^{l+n})}\)
\(\displaystyle{ c|(p^n-p^{l+k})}\)

Gdyby wyciągnąć z prawej strony \(\displaystyle{ p}\)
to każda z liczb \(\displaystyle{ a, b, c}\) można przedstawić w postaci
\(\displaystyle{ a=a_1 \cdot p}\)
\(\displaystyle{ b=b_1 \cdot p}\)
\(\displaystyle{ c=c_1 \cdot p}\)
Inaczej równania przyjmą postać
\(\displaystyle{ a_1b_1-c_1=p^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ a_1c_1-b_1=p^{k-1}}\)
\(\displaystyle{ b_1c_1-a_1=p^{l-1}}\)
Czynność można powtórzyć tyle razy by najmniejsza potęga z liczb\(\displaystyle{ k,l,n}\) osiągnęła wartość \(\displaystyle{ 0}\) lub inaczej jedna z liczb \(\displaystyle{ a_i, b_i,c_i}\) przyjmie wartość \(\displaystyle{ p}\)
W tym miejscu się zakałapućkałem . Ale dalej się nie da.
ODPOWIEDZ