ile jest tych

[wlod3224]

Ile zer na końcu jest w zapisie iloczynu \(\displaystyle{ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 102}\) po wykonaniu mnożeń ?

[Premislav]

Zauważ, że \(\displaystyle{ 10=2\cdot 5}\) i że do rozkładu tego Twojego iloczynu na czynniki pierwsze piątka wchodzi z mniejszym wykładnikiem niż dwójka. Zatem wystarczy policzyć, z jakim wykładnikiem liczba \(\displaystyle{ 5}\) wchodzi do rozkładu \(\displaystyle{ 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot 102}\) na czynniki pierwsze, a na to jest gotowy wzór (działa też dla każdej innej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\), wtedy tam, gdzie jest \(\displaystyle{ 5}\), wpisujesz \(\displaystyle{ p}\)):
\(\displaystyle{ v_5(n!)= \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{5^k}\right\rfloor}\)
(tutaj \(\displaystyle{ n=102}\)). Oczywiście w praktyce suma ta zawsze jest skończona, bo te podłogi są od pewnego miejsca równe zero.
Będzie to:
\(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{102}{5}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{102}{25}\right\rfloor=24}\)