Udowodnij, że ...

[nightclower16]

Udowodnij ( nie idukcyjnie), że dla każdej liczby całkowitej n liczba: n(n+1)(2n+1) jest podzielna przez 6.

Proszę o pomoc .

[Piotr Rutkowski]

można np. ze znanego wzoru:
\(\displaystyle{ 1^{2}+2^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\), a po lewej mamy liczbę całkowitą Jakbyś chciał inaczej, to wystarczy posprawdzać przystawania iloczynu modulo 2 i modulo 3

[jarekp]

n(n-1) to iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych(jedna z nich jest parzysta)
więc n(n-1)(2n+1) jest zawsze podzielna przez 2.

Pozostaje wykazać podzielność przez 3.

1. n=3k n jest podzielna przez 3. k-liczba całkowita

2.jeśli n=3k+1 to wtedy czynnik 2n+1=2(3k+1)+1=6k+3 czyli jest podzielny przez 3

3.n=3k+2 to wtedy czynnik n+1=3n+3 jest podzielny przez 3

czyli w każdym przypadku licza n(n+1)(2n+1) jest podzielna przez 2 i 3 czyli jest zawsze podzielna przez 6.