Cześć, mam do rozwiązania następujące zadanie:
\(\displaystyle{ a,b \in \ZZ \ \ n,m \in \NN}\) oraz \(\displaystyle{ a \equiv b \pmod{d} \ \ d=NWD(m,n)}\)
Teza: następujący układ ma rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv a \pmod{m} \\ x \equiv b \pmod{n} \end{cases}}\)
Moja próba jest następująca:
Ten układ ma rozwiązanie wtw rozwiązanie ma układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-a=km\\ x-b=ln \end{cases}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ k,l \in \ZZ}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=km+a\\ x=ln+b \end{cases}}\)
odejmując drugi wiersz od pierwszego, dostaję:
\(\displaystyle{ 0=km - ln + a - b \Leftrightarrow b-a = km - ln}\)
teraz, jeśli potraktować to jako zwykłe równanie diofantyczne z niewiadomymi \(\displaystyle{ k,(-l)}\), mamy:
\(\displaystyle{ NWD(m,n) | (b-a)}\) zatem to równanie ma rozwiązanie.
To jest ok? Wie ktoś może czy da się to sprowadzic do równania spełniającego założenia chińskiego twierdzenia o resztach?