Udowodnić nierówność

[Rozbitek]

\(\displaystyle{ \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1}+\dots+\frac{1}{3k} > 1}\), \(\displaystyle{ k \in \NN^+}\)

Zależy mi na dowodzie bez użycia funkcji \(\displaystyle{ \exp}\), ale nie mam pomysłu. Indukcją (przynajmniej mi) nie idzie, a jak wezmę jakieś ograniczenie, to niestety jest ono niewystarczające.

Jeżeli chodzi o dowód, to oczywiście jest taki: \(\displaystyle{ \exp \left(\frac{1}{k} + \frac{1}{k+1}+\dots + \frac{1}{3k}\right) = e^{\frac{1}{k}} \cdot e^{\frac{1}{k+1}}\; \dots \; e^{\frac{1}{3k}} > \left(1+ \frac{1}{k} \right) \cdot \left(1+\frac{1}{k+1}\right) \; \dots \; \left(1+\frac{1}{3k}\right) =
\\
= \left(\frac{k+1}{k}\right)\left(\frac{k+2}{k+1}\right) \dots \left(\frac{3k+1}{3k}\right) = \frac{3k+1}{k} > 3.}\)

Ale chodzi mi o jakieś inne podejście. Bardzo proszę o jakąś wskazówkę.

[Premislav]

Wskazówka: zastosuj nierówność między średnią arytmetyczną a harmoniczną dla liczb
\(\displaystyle{ \frac{1}{k}, \ \frac{1}{k+1}, \ldots \frac{1}{3k}}\).
Tj.
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{k}+ \frac{1}{k+1}+\ldots +\frac{1}{3k}}{2k+1}\ge \ldots}\)

[a4karo]

Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest dodatnia i malejąca, to \(\displaystyle{ f(a)>\int_a^{a+1}f(t)dt}\), zatem
\(\displaystyle{ \sum_{i=k}^{3k}\frac{1}{i}>\sum_{i=k}^{3k}\int_i^{i+1}\frac{dt}{t}=\int_k^{3k+1}\frac{dt}{t}=\ln(3k+1)-\ln k>\ln(3k)-\ln k=\ln 3>1}\)

[Premislav]

Aha, „indukcją nie idzie" to często znak, że tezę, którą wykazujemy, trzeba wzmocnić.
Tutaj można np. udowadniać indukcyjnie, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\ldots+\frac{1}{{\red 3k-2}}\ge 1}\) dla \(\displaystyle{ k\in \NN^+}\). W kroku indukcyjnym masz wówczas do udowodnienia nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{3k-1}+\frac{1}{3k}+\frac{1}{3k+1}\ge \frac{1}{k}}\) (też można ze średnich, ale co kto lubi, wystarczy elementarne \(\displaystyle{ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}}\) w dodatnich dla odpowiednich \(\displaystyle{ x,y}\)).

[Rozbitek]

Premislav,
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{k}+ \frac{1}{k+1}+\ldots +\frac{1}{3k}}{2k+1}\ge \frac{2k+1}{\frac{1}{k}+ \frac{1}{k+1}+\ldots +\frac{1}{3k}}}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{k}+ \frac{1}{k+1}+\ldots +\frac{1}{3k}\right)^2 \ge \left( 2k+1\right)^2}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{k}+ \frac{1}{k+1}+\ldots +\frac{1}{3k}\right) \ge \left( 2k+1\right) > 1}\).

O to chodzi?

[Premislav]

No niezupełnie, nierówność między średnią arytmetyczną a harmoniczną dla liczb dodatnich
\(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots a_n}\) ma postać
\(\displaystyle{ \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\ge \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}}}\)
a Ty napisałeś (często nieprawdziwą, w tym tutaj) nierówność
\(\displaystyle{ \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\ge \frac{n}{a_1+a_2+\ldots+a_n}}\)
(w szczególnym przypadku).
Skoro \(\displaystyle{ a_1=\frac{1}{k}}\) etc. to \(\displaystyle{ \frac{1}{a_1}=}\)

[Rozbitek]

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{k}+ \frac{1}{k+1}+\ldots +\frac{1}{3k}}{2k+1}\ge \frac{2k+1}{k+k+1+\dots+3k} = \frac{2k+1}{2k+1+2k}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{k}+ \frac{1}{k+1}+\ldots +\frac{1}{3k}\ge \frac{2k+1}{k+k+1+\dots+3k} = \frac{4k^2+4k+1}{4k+1} = \frac{4k^2}{4k+1} + 1 > 1}\)

[a4karo]

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{k}+ \frac{1}{k+1}+\ldots +\frac{1}{3k}}{2k+1}\ge \frac{2k+1}{k+k+1+\dots+3k} =\red \frac{2k+1}{2k+1+2k}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{k}+ \frac{1}{k+1}+\ldots +\frac{1}{3k}\ge \frac{2k+1}{k+k+1+\dots+3k} = {\red\frac{4k^2+4k+1}{4k+1}} = \frac{4k^2}{4k+1} + 1 > 1}\)

coś sie te sumy nie zgadzają, a w ostatniej nierówności nawet rząd wielkości nie pasuje

[Rozbitek]

Ojej, co tu się podziało...
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{k}+ \frac{1}{k+1}+\ldots +\frac{1}{3k}}{2k+1}\ge \frac{2k+1}{k+k+1+\dots+3k} = \frac{2k+1}{(k+1)^2+k^2 + 2k}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{k}+ \frac{1}{k+1}+\ldots +\frac{1}{3k}\ge \frac{(2k+1)^2}{k+k+1+\dots+3k} = \frac{4k^2+4k+1}{2k^2+4k+1} > 1}\)

[a4karo]

Ta suma na pewno nie jest bliska 2, więc oszacowanie nadal jest podejrzane

[Rozbitek]

To może od początku \(\displaystyle{ \frac{2k+1}{k+k+1+\dots+3k}}\)

Sumuję mianownik:
\(\displaystyle{ k+k+1+\dots+3k = \underbrace{(2k-k) + (2k - k+1) + \dots + (2k)}_{k+1} + \underbrace{(2k+1) + \dots + (2k+k)}_{k} = \left( 2k^2 + 2k - 1 - 2 - \dots - (k-1)\right) + \left( 2k^2 + 1 + 2 + \dots + k \right) = 4k^2 + 3k}\)

Wykonuję drugą nierówność tak jak poprzednio, ale z poprawionym mianownikiem.
\(\displaystyle{ \frac{1}{k}+ \frac{1}{k+1}+\ldots +\frac{1}{3k}\ge \frac{(2k+1)^2}{4k^2+3k} = \frac{4k^2+4k+1}{4k^2+3k} > 1}\)

[MrCommando]

Z kolei moja pierwsza myśl po zobaczeniu tej nierówności to była nierówność Cauchy'ego-Schwarza w formie Engela. Dzięki niej możemy oszacować sobie lewą stronę w ten sposób:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{2k+1} \frac{1}{k-1+i}\geq \frac{\left( \sum_{i=1}^{2k+1} 1 \right)^2}{\sum_{i=1}^{2k+1} \left(k-1+i\right) }}\).

Ze wzoru na sumę częściową ciągu arytmetycznego łatwo otrzymamy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{2k+1} \left(k-1+i\right)=\frac{1}{2}(k+3k)(2k+1)=2k(2k+1)}\), a poza tym to oczywiście \(\displaystyle{ \left(\sum_{i=1}^{2k+1} 1 \right)^2=(2k+1)^2}\). Czyli możemy zapisać, że zachodzi:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{2k+1} \frac{1}{k-1+i} \geq \frac{\left( \sum_{i=1}^{2k+1} 1 \right)^2}{\sum_{i=1}^{2k+1} \left(k-1+i\right) }=\frac{(2k+1)^2}{2k(2k+1)}=\frac{2k+1}{2k}>\frac{2k}{2k}=1}\), co kończy dowód.

EDIT:

Sumuję mianownik:
\(\displaystyle{ k+k+1+\dots+3k = \underbrace{(2k-k) + (2k - k+1) + \dots + (2k)}_{k+1} + \underbrace{(2k+1) + \dots + (2k+k)}_{k} = \left( 2k^2 + 2k - 1 - 2 - \dots - (k-1)\right) + \left( 2k^2 + 1 + 2 + \dots + k \right) = 4k^2 + 3k}\)

No to niestety źle zsumowałeś ten mianownik. Za bardzo nie wiem po co te kombinacje, to po prostu \(\displaystyle{ 2k+1}\)-sza suma częściowa ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie równym \(\displaystyle{ k}\) i ostatnim \(\displaystyle{ 3k}\). Jest na to gotowy wzór.

[Rozbitek]

MrCommando, czyli powinno wyjść \(\displaystyle{ 2k(2k+1) = 4k^2+2k}\)?
Tak mi ze wzoru wychodzi. U Ciebie w rozwiązaniu jest taki sam, więc chyba dobrze.

[MrCommando]

Rozbitek, zgadza się.

[Rozbitek]

Dziękuję.
Dzisiaj jestem jakoś nadzwyczaj ułomny.