Znajdź najmniejszą liczbę naturalną

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
MlodyMatematykAmator
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 23 mar 2019, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 16 razy

Znajdź najmniejszą liczbę naturalną

Post autor: MlodyMatematykAmator »

Witam. Chciałbym zapytać w jaki sposób robić tego typu zadania (na poziomie liceum):

Znajdź najmniejszą liczbę naturalną, której ostatnią cyfrą jest 7 i taką, że jeśli przeniesiemy cyfrę 7 z końca na początek, to otrzymamy liczbę pięć razy większą od danej.

Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Znajdź najmniejszą liczbę naturalną

Post autor: kerajs »

Może tak
\(\displaystyle{ 5(10a+7)=7 \cdot 10^k+a\\
49a=7(10^k-5)\\
7a=10^k-5}\)

Pierwszym naturalnym k dla którego \(\displaystyle{ 10^k-5}\) jest podzielne przez 7 jest \(\displaystyle{ k=5}\)
Szukana liczba to: \(\displaystyle{ 142857}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Znajdź najmniejszą liczbę naturalną

Post autor: Premislav »

Dobre! Na to bym nigdy nie wpadł.
Jest to zadanie pierwsze z finału konkursu matematycznego Politechniki Warszawskiej z roku 2018, rozwiązałem je wprawdzie na forum, ale moja metoda była dużo mniej strawna (używałem m.in. małego twierdzenia Fermata, choć nie było to konieczne).
ODPOWIEDZ