Coś na drugi dzień wiosny

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 926
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 274 razy

Coś na drugi dzień wiosny

Post autor: Elayne »

Znajdź wszystkie dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ m}\), \(\displaystyle{ n}\) i liczby pierwsze \(\displaystyle{ p \ge 5}\) takie, że \(\displaystyle{ m(4m^2 + m + 12) = 3(p^n - 1).}\)
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Re: Coś na drugi dzień wiosny

Post autor: Sylwek »

Testując różne rzeczy zauważyłem, że dla \(\displaystyle{ m=-\frac{1}{4}}\) lewa strona ma wartość \(\displaystyle{ -3}\), co od razu sugeruje przerzucenie tej \(\displaystyle{ -3}\) z prawej na lewą i wyciągnięcie czegoś przed nawias.

I rzeczywiście, wychodzi postać równoważna \(\displaystyle{ (4m+1)(m^2+3)=3p^n}\). To już z górki

Warto teraz zbadać NWD dwóch nawiasów po lewej, stosuję zapis \(\displaystyle{ (a,b):=NWD(a,b)}\).

Z algorytmu Euklidesa i z tego, że \(\displaystyle{ (4m+1, 4)=1}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (4m+1, m^2+3)=(4m+1, 4m^2+12)=(4m+1, 4m^2+12-4m^2-m)= \\ =(4m+1, 12-m)=(4m+1, m-12)=(4m+1, 4m-48)=\\=(4m+1, -49) = (4m+1, 49) \in \lbrace 1, 7, 49 \rbrace}\)

Ponieważ oba nasze nawiasy są większe od \(\displaystyle{ 3}\), to oba muszą być podzielne przez \(\displaystyle{ p}\). Z rozumowania o NWD otrzymujemy więc wprost, że musi być \(\displaystyle{ p=7}\). Nasze nawiasy są więc (w pewnej kolejności) parą \(\displaystyle{ (3 \cdot 7^a, \ 7^b)}\), dla pewnych \(\displaystyle{ a, b \in Z_+}\). Od razu też mamy \(\displaystyle{ (4m+1, m^2+3)=7^{\min(a,b)}}\), stąd \(\displaystyle{ \min(a,b) \in \lbrace 1, 2 \rbrace}\).

Można to dokończyć na kilka sposobów (np. dwa przypadki o podzielności naszych nawiasów przez 3), ale zrobię nieco inaczej.

Gdyby \(\displaystyle{ 4m+1}\) miało w rozkładzie wyższą potęgę \(\displaystyle{ 7}\) niż \(\displaystyle{ m^2+3}\), to \(\displaystyle{ 4m+1 \ge \frac{7}{3} (m^2+3)}\), równoważnie \(\displaystyle{ 7m^2-12m+18 \le 0}\), co jest sprzeczne (bo np. delta jest ujemna czy też \(\displaystyle{ 7m^2>12m}\) dla \(\displaystyle{ m \ge 2}\), a dla \(\displaystyle{ m=1}\) sprawdzamy ręcznie).

Zatem \(\displaystyle{ 4m+1}\) ma w swoim rozkładzie \(\displaystyle{ 7^x}\), a \(\displaystyle{ m^2+3}\) ma \(\displaystyle{ 7^y}\), gdzie \(\displaystyle{ 1 \le x \le y}\). Z poprzednich informacji mamy więc \(\displaystyle{ \min(a,b)=x}\), czyli \(\displaystyle{ (4m+1, m^2+3)=7^x}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in \lbrace 1, 2 \rbrace}\).

Zatem \(\displaystyle{ 4m+1}\) może być jedynie jedną z liczb ze zbioru \(\displaystyle{ \lbrace{7^1, \ 3 \cdot 7^1, \ 7^2, \ 3 \cdot 7^2 \rbrace}\) Jedyne liczby z tego zbioru, które są postaci \(\displaystyle{ 4m+1}\), to \(\displaystyle{ 21}\) i \(\displaystyle{ 49}\), co daje odpowiednio \(\displaystyle{ m=5}\) i \(\displaystyle{ m=12}\).

Ponadto, \(\displaystyle{ m=5}\) odpada z powodu sprawdzenia parzystości obu stron oryginalnego równania, zatem zostaje tylko \(\displaystyle{ m=12}\). Sprawdzamy - wtedy rzeczywiście jest \(\displaystyle{ (4m+1)(m^2+3)=49 \cdot 147 = 3 \cdot 7^4}\).

Jedynym rozwiązaniem jest więc trójka \(\displaystyle{ (m, n, p)=(12, 4, 7)}\).
ODPOWIEDZ