Pierwiastkami wielomianu stopnia

[Michal2115]

Pierwiastkami wielomianu stopnia trzeciego są liczby\(\displaystyle{ 1, 3, 5.}\) Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej tego wielomianu jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej wartość tego wielomianu jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 24.}\)

Czy liczbę całkowitą nieparzystą mogę oznaczyć \(\displaystyle{ n-1/n+1}\)?
Jeżeli nie, to dlaczego i jak oznaczyć? Pozdrawiam

[a4karo]

Gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ n\pm1}\) jest parzyste, więc tak sie nie da.
Wsk: dla dowolnego\(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ 2n}\) jest parzysta

[Michal2115]

Nie do końca rozumiem to co napisałeś.

[Jan Kraszewski]

Napisz najpierw, jak wygląda ten wielomian.

JK

[Michal2115]

\(\displaystyle{ W(x)= \frac{1}{2} (x-1)(x-3)(x-5)}\)
I następnie bym podstawił te liczbe całkowitą nieparzystą do tego wielomianu za x'a, lecz nie do końca wiem jak ją zapisać.

[Studniek]

Nie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) tylko 12, a podstawiasz dokładnie jak napisał wcześniej a4karo, za \(\displaystyle{ x}\) liczbę \(\displaystyle{ 2n+1}\). Nie możesz podstawić \(\displaystyle{ n+1}\) jak proponowałeś, bo nic nie wiesz o liczbie n, czy jest parzysta czy nie, stosując taki zapis masz pewność, że jest to liczba nieparzysta.

[Premislav]

Akurat z \(\displaystyle{ \frac 1 2}\) to zadanie jest ciekawsze (choć w końcu nie wiem jak miało być) i teza jest wówczas jak najbardziej prawdziwa.
Zauważ, że dla liczby całkowitej i nieparzystej \(\displaystyle{ x}\) liczby \(\displaystyle{ x-1, x-3, x-5}\) są parzyste (jako różnice dwóch liczb nieparzystych), co więcej, wśród dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\), czyli \(\displaystyle{ 16}\) dzieli \(\displaystyle{ (x-1)(x-3)(x-5)}\). Poza tym liczby \(\displaystyle{ x-1, x-3, x-5}\) dają parami różne reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) (bo tych reszt jest tylko \(\displaystyle{ 3}\): \(\displaystyle{ 0, 1}\) oraz \(\displaystyle{ 2}\), a różnica żadnych dwóch spośród \(\displaystyle{ x-1, x-3, x-5}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\)), w szczególności któraś daje resztę \(\displaystyle{ 0}\), czyli dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\).

[Michal2115]

Ajaja, błąd się wkradł w treści, miała być \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

I już udowodniłem, dzięki!

[Studniek]

W sumie to ma sens, bo dla liczby 12 to zadanie było wręcz trywialne