Różnice liczb

[mol_ksiazkowy]

Skonstruować zbiór \(\displaystyle{ n}\) elementowy \(\displaystyle{ \{ a_1, ..., a_n \}}\) którego elementami są liczby całkowite, takie że wszystkie spośród \(\displaystyle{ { n \choose 2}\) liczb \(\displaystyle{ |a_i - a_j|}\); gdzie \(\displaystyle{ i, j \in \{1, ..., n \}}\) oraz \(\displaystyle{ i \neq j}\) są różne oraz mniejsze od \(\displaystyle{ e^{\frac{n+2}{2}}}\)

[arek1357]

Na szybko:

ciąg, który powstaje w ten sposób.:

\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+1 , a_{1}=0}\)

dla \(\displaystyle{ n=1}\)

\(\displaystyle{ \left\{ 0\right\} , 1<e^{ \frac{3}{2} }}\)

dla \(\displaystyle{ n=2}\)

\(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\} , 1<e^{ 2 }}\)

dla \(\displaystyle{ n=3}\)

\(\displaystyle{ \left\{ 0,1,3\right\} , 3<e^{ \frac{5}{2} }}\)

dla \(\displaystyle{ n=4}\)

\(\displaystyle{ \left\{ 0,1,3,7\right\} , 4<e^{ 3 }}\)

..................................................................

itd...

Jak widać każda różnica jest inna, największą różnicą jest:

\(\displaystyle{ a_{n}}\)

Więc wystarczy udowodnić, że:

\(\displaystyle{ a_{n}<e^{ \frac{n+2}{2} }}\)

Dla małych zachodzi, więc wystarczy indukcyjnie udowodnić, że:

\(\displaystyle{ a_{n+1}<e^{ \frac{n+3}{2} }}\)

ale:

\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+1}\)

i czy:

\(\displaystyle{ a_{n}+1<e^{ \frac{n+3}{2} }}\)

dw:

\(\displaystyle{ a_{n}+1<1+e^{ \frac{n+2}{2} }}\)

i czy:

\(\displaystyle{ 1+e^{ \frac{n+2}{2} }<e^{ \frac{n+3}{2} }}\)

Ale to zachodzi ponieważ funkcja:

\(\displaystyle{ f(x)=e^{ \frac{x+3}{2} }-e^{ \frac{x+2}{2} }-1}\)

łatwo wykazać, że:

\(\displaystyle{ f(x)>0 , x>0}\)

edit:
Oj tak tak za bardzo zmęczony...

[a4karo]

Cos nie tak z tym wzorkiem - \(\displaystyle{ a_n=n}\). Czyżby miało byc \(\displaystyle{ a_{n+1}=2a_n+1}\)? Ale wtedy \(\displaystyle{ a_n=2^n-1>e\cdot e^{n/2}}\)

[arek1357]

Ta po przemyśleniu konstruowałem ten zbiór w ten sposób, a mianowicie:

wybieram pierwszy wyraz ciągu jako zero,

\(\displaystyle{ a_{1}=0}\)


\(\displaystyle{ a_{2}=1}\)


\(\displaystyle{ a_{3}=3}\)


to jest łatwe , dla \(\displaystyle{ n=3}\)


mamy taki najlepszy układ liczb:

\(\displaystyle{ 0,1,3}\)

teraz wypiszmy różnice wszystkie tego układu:

\(\displaystyle{ 1,2,3}\)


w następnym zbiorze i ilości elementów o jeden większym powinniśmy do ostatniego wyrazu dodać

liczbę jak najmniejszą, lecz inną spoza zbioru różnic, jak najmniejszą czyli nalepsza to \(\displaystyle{ 4}\)

Więc zbiór czteroelementowy będzie taki:

\(\displaystyle{ 0,1,3,7}\)


i to jest najlepsza opcja , wypiszmy teraz wszystkie różnice:


\(\displaystyle{ 1,2,4,3,6,7}\)


teraz aby stworzyć zbiór pięcioelementowy powinniśmy do ostatniego elementu dodać najmniejszą liczbę nie należącą do zbioru różnic, a mianowicie:


\(\displaystyle{ 5}\)

a więc zbiór pięcioelementowy powinien wyglądać tak:

\(\displaystyle{ 0,1,3,7,12}\)


I znowu znajdujemy dziesięć, różnic, wybieramy jak najmniejszą liczbę spoza zbioru różnic,

i tak możemy iść w nieskończoność, niestety jakiegoś wzoru na ten ciąg raczej ciężko znaleźć ,


ale ta konstrukcja jednakże dostarcza jak najmniejszej różnicy między ostatnim a pierwszym wyrazem (zerowym), uważam tę konstrukcję za najlepszą...


ale jest jeszcze warunek zadania i to mi narzuciło jeszcze jedną konstrukcję liczb zadanego zadaniem zbioru, a mianowicie:


\(\displaystyle{ f(i)=[e^{ \frac{i+2}{2} }]}\)


Z obserwacji elementami naszego szukanego zbioru będą:


\(\displaystyle{ \left\{ 2,4,7,12,20,33,54,90,148,...\right\}}\)

Jak widać zbiór ten ma dla każdego n elementy zdecydowanie większe od elementów zbioru, który konstruowałem powyżej (choć nieformalnie)...

Myślałem nawet, że liczby generowane przez ten zbiór spełniają warunki naszego zadania , ale tak nie jest bo np:

\(\displaystyle{ 2,4,7,12}\)

\(\displaystyle{ 7-2=5, 12-7=5}\)


Takie moje uwagi na temat zadania...

ps. konstrukcja z postu powyżej też jest niby ok. lecz nie spełnia warunków zadania...