Taki sobie wzorek

[Brombal]

Wyprowadziłem sobie( z nudów ) taki wzorek

dla liczb \(\displaystyle{ n>2}\) i \(\displaystyle{ a>2}\) - naturalnych
oraz \(\displaystyle{ k}\) - naturalnego

każdą liczbę naturalną w postaci:

\(\displaystyle{ a ^{n}}\)

gdzie
\(\displaystyle{ \gamma(n)}\) - funkcja o wartości stopnia parzystości liczby \(\displaystyle{ n}\)

da się przedstawić w postaci

\(\displaystyle{ a^{n} =2 ^{n\gamma(a)}\cdot \left( 2 ^{\gamma(8 \cdot \lfloor \frac{n}{2}\rfloor)} \cdot k+\left( \frac{a}{2 ^{\gamma(a)\right)^{n-2 \cdot\lfloor \frac{n}{2}\rfloor } } } \right)}\)

[Dilectus]

Jeśli funkcja coś zwraca, to musiała najpierw pożyczyć. Co i skąd pożyczyła funkcja \(\displaystyle{ \gamma(n)}\)? Popatrzmy na znaczenie słowa "zwracać":

zwracać zob. zwrócić.
zwrócić — zwracać
1. «oddać komuś jego własność»
2. «ustawić coś w jakąś stronę»
3. «skierować do kogoś swoją wypowiedź»
4. «zwymiotować»

Kod: Zaznacz cały

https://sjp.pwn.pl/szukaj/zwraca%C4%87.html

Chyba że funkcja gamma zwymiotowała, w co wątpię...

[Brombal]

Zwracać można również po nadmiernym spożyciu - być może jest to ta wersja -- 6 mar 2019, o 14:45 --Być może jest to termin stosowany w informatyce?

[Dilectus]

To jest kalka z języka angielskiego (return). Ale błagam, niech Twoje funkcje nie zwracają.

[Brombal]

Dobrze
funkcja \(\displaystyle{ \gamma(n)}\) przyjmuje wartość stopnia parzystości liczby \(\displaystyle{ n}\)

Jest inny problem
wzorek jest prawdziwy dla każdego \(\displaystyle{ a >2}\) i \(\displaystyle{ n >2}\)

[a4karo]

Co to jest stopień parzystosci?

[Brombal]

Co to jest stopień parzystości?

Nie pamiętam...
Być może nie ma czegoś takiego? Albo nazywane jest odmiennie...

[a4karo]

Zaraz... wymyśliłeś wzorek, w którym \(\displaystyle{ \gamma}\) odgrywa kluczową rolę i nie wiesz co to jest. Może się prześpij?

[Brombal]

Zdefiniował bym to tak - stopień parzystości liczby oznacza ilokrotnie można dana liczbę podzielić przez \(\displaystyle{ 2}\) bez reszty.
Albo inaczej - największa liczba całkowita nieujemna np. \(\displaystyle{ s}\) taka, że \(\displaystyle{ 2 ^{s}}\) dzieli \(\displaystyle{ n}\) bez reszty.
Nie pamiętam gdzie zetknąłem się z tym pojęciem. Być może brzmiało inaczej.
Na chwile obecną nikt nie czepia się wzorku jako nieprawdziwego ...

[a4karo]

Pytam, bo napisałeś

Wyprowadziłem sobie( z nudów ) taki wzorek

dla liczb \(\displaystyle{ n>2}\) i \(\displaystyle{ a>2}\) - naturalnych
oraz \(\displaystyle{ k}\) - naturalnego

każdą liczbę naturalną w postaci:

\(\displaystyle{ a ^{n}}\)

gdzie
\(\displaystyle{ \gamma(n)}\) - funkcja o wartości stopnia parzystości liczby \(\displaystyle{ n}\)

da się przedstawić w postaci

\(\displaystyle{ a^{n} =2 ^{\gamma(a)}\cdot \left( 2 ^{\gamma(8 \cdot \lfloor \frac{n}{2}\rfloor)} \cdot k+\left( \frac{a}{2 ^{\gamma(a)\right)^{n-2 \cdot\lfloor \frac{n}{2}\rfloor } } } \right)}\)

Liczba \(\displaystyle{ 8=(2\sqrt{2})^2}\) jest naturalna, więc zgodnie z Twoim wzorkiem da się ja przedstawić w postaci..., ale w tym celu trzeba wiedzieć czym jest \(\displaystyle{ \gamma(2\sqrt2)}\)

[Brombal]

Liczba \(\displaystyle{ 8=(2\sqrt{2})^2}\) jest naturalna, więc zgodnie z Twoim wzorkiem da się ja przedstawić w postaci..., ale w tym celu trzeba wiedzieć czym jest \(\displaystyle{ \gamma(2\sqrt2)}\)

Liczba \(\displaystyle{ 8}\) jest naturalna ale liczba \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}}\) już nie

\(\displaystyle{ \gamma(8)=3}\)
\(\displaystyle{ \gamma(\left( 2 \sqrt{2}\right) ^{2} )= 3}\)

Dziedziną funkcji \(\displaystyle{ \gamma}\) są liczby naturalne (właściwie całkowite - ale tych nie obejmuje wzorek)

[a4karo]

Nie słuchasz siebie samego. Nigdzie nie napisałeś, że \(\displaystyle{ a}\) ma być naturalne.
Jedyne czego wymagasz to \(\displaystyle{ a^n}\) ma być całkowite.

[Brombal]

Wyprowadziłem sobie( z nudów ) taki wzorek
..

dla liczb \(\displaystyle{ n>2}\) i \(\displaystyle{ a>2}\) - naturalnych
oraz \(\displaystyle{ k}\) - naturalnego

...

Zawiera to pewien błąd - powinno być \(\displaystyle{ n \ge 2}\)

[a4karo]

Przepraszam, znów czegoś nie doczytałem

[Brombal]

To ja przepraszam rozpisane to jest nieczytelne. Dodatkowo źle przepisałem wyprowadzony wzorek.
Poniżej prawidłowo:
\(\displaystyle{ a^{n} =2 ^{n\gamma(a)}\cdot \left( 2 ^{\gamma(8 \cdot \lfloor \frac{n}{2}\rfloor)} \cdot k+\left( \frac{a}{2 ^{\gamma(a)\right)^{n-2 \cdot\lfloor \frac{n}{2}\rfloor } } } \right)}\)

Wzorek działa - czyli istnieje takie \(\displaystyle{ k}\) naturalne spełniające wzorek.
Tak po parzystościach przykładowych liczb...

\(\displaystyle{ a=5}\), \(\displaystyle{ n=4}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow k=39}\)
\(\displaystyle{ a=5}\), \(\displaystyle{ n=3}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow k=15}\)
\(\displaystyle{ a=6}\), \(\displaystyle{ n=4}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow k=5}\)
\(\displaystyle{ a=6}\), \(\displaystyle{ n=3}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow k=3}\)

Najbardziej cieszy, że jest to wzorek całkowicie ogólny -- 10 mar 2019, o 14:38 --Rozpiszę nieco przykłady - dla ułatwienia
1) \(\displaystyle{ a=5}\) ; \(\displaystyle{ n=4}\) ; \(\displaystyle{ 5 ^{4} =625}\) ; \(\displaystyle{ \gamma(5)=0}\) ; \(\displaystyle{ 8 \cdot \lfloor \frac{4}{2} \rfloor=16}\) ; \(\displaystyle{ \gamma (16)=4}\)

\(\displaystyle{ 625 = 2 ^{4 \cdot 0} \cdot\left( 2 ^{4} \cdot k +( \frac{5}{2 ^{0} } )^{4-2 \cdot 2}\right)}\)
\(\displaystyle{ 625=1 \cdot \left( (16 \cdot k+5^{0}\right)}\)
\(\displaystyle{ 625 = 16 \cdot k+1}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow k=39}\)

2) \(\displaystyle{ a=5}\) ; \(\displaystyle{ n=3}\) ; \(\displaystyle{ 5 ^{3} =125}\) ; \(\displaystyle{ \gamma(5)=0}\) ; \(\displaystyle{ 8 \cdot \lfloor \frac{3}{2} \rfloor=8}\) ; \(\displaystyle{ \gamma (8)=3}\)

\(\displaystyle{ 125 = 2 ^{3 \cdot 0} \cdot\left( 2 ^{3} \cdot k +( \frac{5}{2 ^{0} } )^{3-2 \cdot 2}\right)}\)
\(\displaystyle{ 125=1 \cdot \left( (8 \cdot k+5^{1}\right)}\)
\(\displaystyle{ 125 = 8 \cdot k+5}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow k=15}\)

3) \(\displaystyle{ a=6}\) ; \(\displaystyle{ n=4}\) ; \(\displaystyle{ 6 ^{4} =1296}\) ; \(\displaystyle{ \gamma(6)=1}\) ; \(\displaystyle{ 8 \cdot \lfloor \frac{4}{2} \rfloor=16}\) ; \(\displaystyle{ \gamma (16)=4}\)

\(\displaystyle{ 1296 = 2 ^{4 \cdot 1} \cdot\left( 2 ^{4} \cdot k +( \frac{6}{2 ^{1} } )^{4-2 \cdot 2}\right)}\)
\(\displaystyle{ 1296=2^{4 \cdot 1} \cdot \left( (16 \cdot k+3^{0}\right)}\)
\(\displaystyle{ 1296 = 16 \cdot \left( 16 \cdot k+1\right)}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow k=5}\)

4) \(\displaystyle{ a=6}\) ; \(\displaystyle{ n=3}\) ; \(\displaystyle{ 6 ^{3} =216}\) ; \(\displaystyle{ \gamma(6)=1}\) ; \(\displaystyle{ 8 \cdot \lfloor \frac{3}{2} \rfloor=8}\) ; \(\displaystyle{ \gamma (8)=3}\)

\(\displaystyle{ 216 = 2 ^{3 \cdot 1} \cdot\left( 2 ^{3} \cdot k +( \frac{6}{2 ^{1} } )^{3-2 \cdot 1}\right)}\)
\(\displaystyle{ 216=2 ^{3 } \cdot \left( (8 \cdot k+3^{1}\right)}\)
\(\displaystyle{ 216 = 8 \cdot\left( 8 \cdot k+3\right)}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow k=3}\)