Wyznaczyć wszystkie trójki liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ (a, b, c)}\) takich, że
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{b+c}= \frac{a+c}{a+b}}\)
oraz \(\displaystyle{ ab+bc+ca}\) jest liczbą pierwszą.
Trójki a ułamek
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Trójki a ułamek
\(\displaystyle{ (a+b)^2=(c+a)(c+b)\\
(a+b)^2-c^2=ab+ac+bc\\
ab+ac+bc=(a+b-c)(a+b+c)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b-c=1 \\ a+b+c=p \ \text{ gdzie p jest liczbą pierwszą} \ \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} c=a+b-1 \\ 2(a+b)-1=p \ \text{ gdzie p jest nieparzystą liczbą pierwszą} \ \end{cases}}\)
Szukane trójki to \(\displaystyle{ (a, -a+ \frac{p+1}{2}, \frac{p-1}{2})}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) to dowolna całkowita dodatnia, a \(\displaystyle{ p}\) to dowolna nieparzysta liczba pierwsza większa od \(\displaystyle{ 2a-1}\).
(a+b)^2-c^2=ab+ac+bc\\
ab+ac+bc=(a+b-c)(a+b+c)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b-c=1 \\ a+b+c=p \ \text{ gdzie p jest liczbą pierwszą} \ \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} c=a+b-1 \\ 2(a+b)-1=p \ \text{ gdzie p jest nieparzystą liczbą pierwszą} \ \end{cases}}\)
Szukane trójki to \(\displaystyle{ (a, -a+ \frac{p+1}{2}, \frac{p-1}{2})}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) to dowolna całkowita dodatnia, a \(\displaystyle{ p}\) to dowolna nieparzysta liczba pierwsza większa od \(\displaystyle{ 2a-1}\).