Malowanie liczb

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Malowanie liczb

Post autor: mol_ksiazkowy »

Każdą liczbę naturalną pokolorowano jednym z kolorów: na niebiesko lub czerwono. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie dowolną liczbą naturalną. Udowodnić, że istnieją \(\displaystyle{ a>n, b >n}\) takie, że liczby \(\displaystyle{ a, b, a+b}\) są jednokolorowe.
A co jeśli mamy trzy kolory?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Malowanie liczb

Post autor: arek1357 »

Wystarczy wziąć odpowiednio długi ciąg liczb:

\(\displaystyle{ n<A_{1}<A_{2}<A_{3}<...<A_{R}}\) - wierzchołki grafu...

takie, że:

\(\displaystyle{ A_{J}-A_{i}>n , j>i}\)

Z tw. Ramseya wiadomo, że istnieje w tym ciągu monochromatyczna klika o trzech krawędziach:

jakaś np:

\(\displaystyle{ A_{s}>A_{k}>A_{r}}\)

Krawędzie tej kliki pomalowane są jednym kolorem np.: niebieskim (n)...

Krawędziom przyporządkowujemy liczby względem zasady: \(\displaystyle{ A_{j}-A_{i}}\)

\(\displaystyle{ f(A_{s}-A_{k})= f(A_{k}-A_{r})= f(A_{s}-A_{r})=n}\)

\(\displaystyle{ f}\) to kolorowanie krawędzi...

niech teraz:

\(\displaystyle{ x=A_{s}-A_{k}}\)

\(\displaystyle{ y=A_{k}-A_{r}}\)

\(\displaystyle{ z=A_{s}-A_{r}}\)

widać, że:

\(\displaystyle{ x+y=A_{s}-A_{k}+A_{k}-A_{r}=A_{s}-A_{r}=z}\)

Czyli jak widać istnieją takie:

\(\displaystyle{ x, y, z>n}\)

Spełniające warunki zadania...

podobnie może być dla trzech kolorów...
ODPOWIEDZ