Każdą liczbę naturalną pokolorowano jednym z kolorów: na niebiesko lub czerwono. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie dowolną liczbą naturalną. Udowodnić, że istnieją \(\displaystyle{ a>n, b >n}\) takie, że liczby \(\displaystyle{ a, b, a+b}\) są jednokolorowe.
A co jeśli mamy trzy kolory?
Malowanie liczb
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11266
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3143 razy
- Pomógł: 747 razy
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: Malowanie liczb
Wystarczy wziąć odpowiednio długi ciąg liczb:
\(\displaystyle{ n<A_{1}<A_{2}<A_{3}<...<A_{R}}\) - wierzchołki grafu...
takie, że:
\(\displaystyle{ A_{J}-A_{i}>n , j>i}\)
Z tw. Ramseya wiadomo, że istnieje w tym ciągu monochromatyczna klika o trzech krawędziach:
jakaś np:
\(\displaystyle{ A_{s}>A_{k}>A_{r}}\)
Krawędzie tej kliki pomalowane są jednym kolorem np.: niebieskim (n)...
Krawędziom przyporządkowujemy liczby względem zasady: \(\displaystyle{ A_{j}-A_{i}}\)
\(\displaystyle{ f(A_{s}-A_{k})= f(A_{k}-A_{r})= f(A_{s}-A_{r})=n}\)
\(\displaystyle{ f}\) to kolorowanie krawędzi...
niech teraz:
\(\displaystyle{ x=A_{s}-A_{k}}\)
\(\displaystyle{ y=A_{k}-A_{r}}\)
\(\displaystyle{ z=A_{s}-A_{r}}\)
widać, że:
\(\displaystyle{ x+y=A_{s}-A_{k}+A_{k}-A_{r}=A_{s}-A_{r}=z}\)
Czyli jak widać istnieją takie:
\(\displaystyle{ x, y, z>n}\)
Spełniające warunki zadania...
podobnie może być dla trzech kolorów...
\(\displaystyle{ n<A_{1}<A_{2}<A_{3}<...<A_{R}}\) - wierzchołki grafu...
takie, że:
\(\displaystyle{ A_{J}-A_{i}>n , j>i}\)
Z tw. Ramseya wiadomo, że istnieje w tym ciągu monochromatyczna klika o trzech krawędziach:
jakaś np:
\(\displaystyle{ A_{s}>A_{k}>A_{r}}\)
Krawędzie tej kliki pomalowane są jednym kolorem np.: niebieskim (n)...
Krawędziom przyporządkowujemy liczby względem zasady: \(\displaystyle{ A_{j}-A_{i}}\)
\(\displaystyle{ f(A_{s}-A_{k})= f(A_{k}-A_{r})= f(A_{s}-A_{r})=n}\)
\(\displaystyle{ f}\) to kolorowanie krawędzi...
niech teraz:
\(\displaystyle{ x=A_{s}-A_{k}}\)
\(\displaystyle{ y=A_{k}-A_{r}}\)
\(\displaystyle{ z=A_{s}-A_{r}}\)
widać, że:
\(\displaystyle{ x+y=A_{s}-A_{k}+A_{k}-A_{r}=A_{s}-A_{r}=z}\)
Czyli jak widać istnieją takie:
\(\displaystyle{ x, y, z>n}\)
Spełniające warunki zadania...
podobnie może być dla trzech kolorów...