Matematyka.pl

Wykaż, bez używania kalkulatora i tablic, że
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}}\)-\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}\) Należy do zbioru liczb całkowitych

\(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}\)
\(\displaystyle{ a=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}}\)
\(\displaystyle{ b=\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}\)
\(\displaystyle{ x=a-b}\)
\(\displaystyle{ x^{3}=(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7})^{3}}\)
\(\displaystyle{ x^{3}=(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7})^{3}-(\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7})^{3}-3(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}}\)\(\displaystyle{ *\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}) *(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7})}\)

OSTATNI WYRAZ TEGO OBLICZENIA POWYŻEJ TO x , więc:
PO WYLICZENIU WSZYSTKIEGO I SKRÓCENIU WYCHODZI:

\(\displaystyle{ x^{3}={5\sqrt{2}+7}-{5\sqrt{2}+7}-3x(\sqrt[3]{50-49})}\)

czyli wychodzi:

\(\displaystyle{ x^{3}=14-3x}\)

z tego możemy sami wyliczyć że x=2, ponieważ jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem równania

to mnie zaskoczyłeś takim rozwiązniem

popatrz

\(\displaystyle{ (\sqrt2+1)^3 = 1+3\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}+7}\)

analogicznie z minusem

\(\displaystyle{ (\sqrt2-1)^3 = 2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1}=5\sqrt{2}-7}\)

czyli masz

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(\sqrt2+1)^3}-\sqrt[3]{(\sqrt2-1)^3}=(5\sqrt{2}+7)-(5\sqrt{2}-7)=14}\)

i mała uwaga do kolegi powyżej, pomysł w sumie nie wiem czy dobry, na pewno przekombinowany no i niestety bez wzorów skróconego mnożenia to nie miało szans wyjść

\(\displaystyle{ x=a+b}\)

\(\displaystyle{ x^3=(a+b)3}\)

\(\displaystyle{ (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\)

A jak to ukierunkowac jakoś na wartość bezwzględną? Bo przy tym temacie babka nam to zadała

ukierunkować na wartośc bezwzględną ? eee... nie da sie ;P

jeśli dała to jedno konkretne zadanie i żadnego innego (w co wątpię) to nie da rady.


natomiast podobne przykłady tyle że racze j na literkach i z równaniami kwadratowymi to by mogło chodzić o
\(\displaystyle{ \sqrt{a+b}^2=|a+b|}\)

(kwardat pierwiastka drugiego stopnia jest równy modułowi [wartości bezwzględnej] wyrażenia podpierwiastkowego)

A mam jeszcze małe pytanko:
Czy skoro \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}}\)=|a|, to czy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a^3}}\)=|a| i \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a^n}}\)=|a| ???

tylko jeśli n jest parzyste, bo + razy + daje + i - razy - daje +

jeśli n jest nieparzyste to mamy dwie możliwości a>0 i ao[/latex]
\(\displaystyle{ |a|=a}\)

pe2de2 pisze:a dla takich pierwiastki sensu nie mają

Chciałbym przypomnieć, że jeżeli \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt[2k+1]{x}, \; k\in\mathbb{N}}\) to \(\displaystyle{ D_f=\mathbb{R}}\)

Chciałbym przypomnieć, że "Pierwiastek n-tego stopnia z liczby nieujemnej a jest to taka liczba nieujemna b, że \(\displaystyle{ b^{n}=a}\)"

Prawda, z tym że jeżeli nic nie pisze o pierwiastku ujemnym, to nie znaczy, że takich nie ma, np.:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8}=-2\iff (-2)^3=-8}\)
pasuje?

no tak, ostatnio coraz bardziej Mi sie mózg lasuje