Rozważania o liczbach pierwszych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Rozważania o liczbach pierwszych

Post autor: Brombal »

Więcej w tym gdybizmu niż sensu ale spróbuje wrzucić taki kamyczek...
Wyobraźmy sobie pojęcie gęstości liczb pierwszych albo inaczej oczekiwanej odległości liczb pierwszych od siebie (odwrotność gęstości) lub coś koło tego.
Zdefiniujmy takie pojęcie.
jeżeli mamy funkcję \(\displaystyle{ \pi \left( x\right)}\) - ilość liczb pierwszych do \(\displaystyle{ x}\)

I mamy takie \(\displaystyle{ \partial}\) , że

\(\displaystyle{ \pi \left( x\right) +1 =\pi \left( x+ \partial \right)}\)

Jak widać wartość \(\displaystyle{ \partial}\) zależne jest od \(\displaystyle{ x}\)

Czyli mażemy to zapisać jako funkcję \(\displaystyle{ \partial \left( x\right)}\)

Czy jest możliwe, że \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \left( \partial \left( x\right)\right) = \infty}\)

Czy nie oznacza braku możliwości pojawienia się liczby następnej pierwszej?

Gdyby uznać to powyższe za prawdę to \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \left( \partial \left( x\right)\right) = C}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Rozważania o liczbach pierwszych

Post autor: a4karo »

Dziwna ta funkcja:jeżeli \(\displaystyle{ p}\) jest pierwsze, do \(\displaystyle{ \partial(p-1)=1}\)
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Rozważania o liczbach pierwszych

Post autor: Brombal »

a4karo pisze:Dziwna ta funkcja:jeżeli \(\displaystyle{ p}\) jest pierwsze, do \(\displaystyle{ \partial(p-1)=1}\)

Faktycznie rozlazła ta funkcja

Załóżmy zatem że \(\displaystyle{ x}\) zawiera się w zbiorze liczb pierwszych
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Rozważania o liczbach pierwszych

Post autor: Bran »

czym jest \(\displaystyle{ \partial}\)?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Rozważania o liczbach pierwszych

Post autor: Jan Kraszewski »

Brombal pisze:Załóżmy zatem że \(\displaystyle{ x}\) zawiera się w zbiorze liczb pierwszych
Zawierać się nie może. Może co najwyżej należeć do.

JK
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Rozważania o liczbach pierwszych

Post autor: Lorek »

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Rozważania o liczbach pierwszych

Post autor: Brombal »

Dzięki @Lorek

Jakoś nie wpadłem na to by poszukać w intrenecie.

Zadziwia słabowity wynik
\(\displaystyle{ g _{n}}\) - 26054 dla 306 - cyfrowej liczby

Od ręki jestem w stanie wskazać (i udowodnić że tak jest), większy obszar (odcinek na osi liczbowej?), w którym nie występuje żadna liczba pierwsza. Znalezienie dokładnych liczb pierwszych pomiędzy, którymi znajduje się ten obszar jest już nieco trudniejsze.
Na podstawie tej powyższej dywagacji wiem już, że

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \left( \partial \left( x\right)\right) = \infty}\)

wg. mojego zapisu
lub
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } g _{n} = \infty}\)


Jednocześnie

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{g _{n} }{p _{n} } =0}\)

No i jak to się ma do zrozumienia liczb pierwszych?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Rozważania o liczbach pierwszych

Post autor: a4karo »

Brombal pisze: Na podstawie tej powyższej dywagacji wiem już, że

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \left( \partial \left( x\right)\right) = \infty}\)
No to wiesz więcej, niż wszyscy teorioliczbowcy na świecie. Gdyby bowiem tak było, to hipoteza o liczbach bliźniaczych by upadła.
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Rozważania o liczbach pierwszych

Post autor: leg14 »

Brombal jak się ma Twoja teza do
... 1&type=pdf
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Re: Rozważania o liczbach pierwszych

Post autor: Lorek »

Brombal pisze: Od ręki jestem w stanie wskazać (i udowodnić że tak jest), większy obszar (odcinek na osi liczbowej?), w którym nie występuje żadna liczba pierwsza.
Toć nawet w tym artykule jest podane jak znaleźć \(\displaystyle{ n}\) kolejnych liczb złożonych
Na podstawie tej powyższej dywagacji wiem już, że

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \left( \partial \left( x\right)\right) = \infty}\)

wg. mojego zapisu
lub
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } g _{n} = \infty}\)
Jak już koledzy wyżej wspomnieli, to nie jest prawda, musisz zamienić \(\displaystyle{ \lim}\) na \(\displaystyle{ \limsup}\).
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Rozważania o liczbach pierwszych

Post autor: Brombal »

No proszę ile można się dowiedzieć...

czyli
\(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty } \left( g _{n}\right) = \infty}\)

a z linku @Leg14

\(\displaystyle{ \liminf_{n \to \infty } \left( g _{n}\right) <7 \cdot 10 ^{7}}\)

Nadal dziwaczne to wszystko - lampa w podłodze...
Ostatnio zmieniony 22 lut 2019, o 17:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ