Równanie w liczbach wymiernych
-
bartokot
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 22 lut 2017, o 13:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/opolskie
- Pomógł: 1 raz
Równanie w liczbach wymiernych
Wyznacz wszystkie pary liczb wymiernych \(\displaystyle{ (a, b)}\), dla których zachodzi równość \(\displaystyle{ a^6 + 12 = b^2}\).
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Równanie w liczbach wymiernych
Parę przemyśleń nad tym zadaniem..
Otóż napiszę do czego doszedłem...
zamieńmy najpierw wymierne na całkowite według podstawień:
\(\displaystyle{ a= \frac{x_{1}}{y_{1}},b= \frac{x_{2}}{y_{2}},x_{i},y_{i} \in Z, y_{i} \neq 0}\)
po podstawieniu i skróceniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left( x_{1}^3y_{2}\right)^2+12\left( y_{1}^3y_{2}\right)^2= \left( x_{2}y_{1}^3\right)^2}\)
zróbmy podstawienia:
\(\displaystyle{ x= x_{1}^3y_{2}}\)
\(\displaystyle{ y= y_{1}^3y_{2}}\)
\(\displaystyle{ z= x_{2}y_{1}^3}\)
i otrzymamy:
(*) \(\displaystyle{ x^2+12y^2=z^2}\)
I tu mamy liczby całkowite.
Nasunęły mi się dwa typy rozwiązań tego równania:
1) \(\displaystyle{ x=t, y=2t, z=7t}\)
ale jak to podstawimy do wcześniejszego to otrzymamy:
\(\displaystyle{ t= x_{1}^3y_{2}}\)
\(\displaystyle{ 2t= y_{1}^3y_{2}}\)
\(\displaystyle{ 7t= x_{2}y_{1}^3}\)
z czego wyjdzie nam przy podzieleniu:
\(\displaystyle{ \frac{x_{2}}{y_{2}}= \frac{7}{2}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \left( \frac{x_{1}}{y_{1}}\right)^3 = \frac{1}{2}}\)
z drugiego widać, że nie zachodzi czyli tu brak rozwiązań...
Ale to nie wszystko , znalazłem następną klasę rozwiązań (*):
\(\displaystyle{ x=n^2-3m^2}\)
\(\displaystyle{ y=nm}\)
\(\displaystyle{ z=n^2+3m^2}\)
Wracając do powyższego otrzymamy:
\(\displaystyle{ n^2-3m^2= x_{1}^3y_{2}}\)
\(\displaystyle{ nm= y_{1}^3y_{2}}\)
\(\displaystyle{ n^2+3m^2= x_{2}y_{1}^3}\)
Dzieląc drugie przez pierwsze otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left( \frac{y_{1}}{x_{1}} \right)^3= \frac{nm}{n^2-3m^2}}\)
zakładając , że.: \(\displaystyle{ (n,m)=1}\)
Oraz, że ta liczba z prawej jest "pierwiastkowalna"
Powinno być:
\(\displaystyle{ n=u^3, m=w^3}\)
ale też podstawiając do mianownika otrzymamy:
\(\displaystyle{ u^6-3w^6=r^3 , u,w,r \in Z}\)
I tu się skończyło ponieważ nie mam pomysłu, żeby wykazać, że to równanie w całkowitych nie ma rozwiązania, a może i ma...
Napisałem nawet krótki programik w c++, i sprawdzałem dla dostatecznie dużych, i nic nie znalazło,
więc sugestia, że rozwiązań brak...
Ale to tylko domysły...
Może ktoś zauważy jeszcze co innego...
Otóż napiszę do czego doszedłem...
zamieńmy najpierw wymierne na całkowite według podstawień:
\(\displaystyle{ a= \frac{x_{1}}{y_{1}},b= \frac{x_{2}}{y_{2}},x_{i},y_{i} \in Z, y_{i} \neq 0}\)
po podstawieniu i skróceniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left( x_{1}^3y_{2}\right)^2+12\left( y_{1}^3y_{2}\right)^2= \left( x_{2}y_{1}^3\right)^2}\)
zróbmy podstawienia:
\(\displaystyle{ x= x_{1}^3y_{2}}\)
\(\displaystyle{ y= y_{1}^3y_{2}}\)
\(\displaystyle{ z= x_{2}y_{1}^3}\)
i otrzymamy:
(*) \(\displaystyle{ x^2+12y^2=z^2}\)
I tu mamy liczby całkowite.
Nasunęły mi się dwa typy rozwiązań tego równania:
1) \(\displaystyle{ x=t, y=2t, z=7t}\)
ale jak to podstawimy do wcześniejszego to otrzymamy:
\(\displaystyle{ t= x_{1}^3y_{2}}\)
\(\displaystyle{ 2t= y_{1}^3y_{2}}\)
\(\displaystyle{ 7t= x_{2}y_{1}^3}\)
z czego wyjdzie nam przy podzieleniu:
\(\displaystyle{ \frac{x_{2}}{y_{2}}= \frac{7}{2}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \left( \frac{x_{1}}{y_{1}}\right)^3 = \frac{1}{2}}\)
z drugiego widać, że nie zachodzi czyli tu brak rozwiązań...
Ale to nie wszystko , znalazłem następną klasę rozwiązań (*):
\(\displaystyle{ x=n^2-3m^2}\)
\(\displaystyle{ y=nm}\)
\(\displaystyle{ z=n^2+3m^2}\)
Wracając do powyższego otrzymamy:
\(\displaystyle{ n^2-3m^2= x_{1}^3y_{2}}\)
\(\displaystyle{ nm= y_{1}^3y_{2}}\)
\(\displaystyle{ n^2+3m^2= x_{2}y_{1}^3}\)
Dzieląc drugie przez pierwsze otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left( \frac{y_{1}}{x_{1}} \right)^3= \frac{nm}{n^2-3m^2}}\)
zakładając , że.: \(\displaystyle{ (n,m)=1}\)
Oraz, że ta liczba z prawej jest "pierwiastkowalna"
Powinno być:
\(\displaystyle{ n=u^3, m=w^3}\)
ale też podstawiając do mianownika otrzymamy:
\(\displaystyle{ u^6-3w^6=r^3 , u,w,r \in Z}\)
I tu się skończyło ponieważ nie mam pomysłu, żeby wykazać, że to równanie w całkowitych nie ma rozwiązania, a może i ma...
Napisałem nawet krótki programik w c++, i sprawdzałem dla dostatecznie dużych, i nic nie znalazło,
więc sugestia, że rozwiązań brak...
Ale to tylko domysły...
Może ktoś zauważy jeszcze co innego...