Równanie diofantyczne

[mimisinho99]

Witam. Nie jestem pewien zadania więc wole się upewnić, brzmi tak: Równanie \(\displaystyle{ 321x+843y=z}\) posiada w liczbach całkowitych rozwiązanie (Prawda/Fałsz):
1. dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ z}\)?
2. dla \(\displaystyle{ z}\) całkowitych podzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\)
3. tylko dla \(\displaystyle{ z}\) całkowitych ujemnych

Nie wiem za bardzo jak to wykonać. NWD z tych liczb wynosi \(\displaystyle{ 3}\), więc \(\displaystyle{ z=3}\), ale nie wiem czy w 2 podpunkcie będzie to prawda.... Proszę o wytłumaczenie każdego podpunktu dlaczego prawda/fałsz. Z góry dziękuje

P.S. Chciałbym dodać że z rozszerzonego algorytmu Euklidesa \(\displaystyle{ x=-21}\) a \(\displaystyle{ y=8}\).

[kerajs]

\(\displaystyle{ 3(107x+281y)=z}\)
Skoro lewa strona jest podzielna przez 3, to i prawa taką własność musi posiadać.
Ponieważ nie każda liczba całkowita jest przez 3 podzielna to zadanie a) jest fałszywe.
Fałszywość zdania c) wykazują przykładowe rozwiązania dla nieujemnego z. Np:
\(\displaystyle{ z=0 \Rightarrow x=281 \wedge y=-107}\)
\(\displaystyle{ z=3 \cdot 107 \Rightarrow x=1 \wedge y=0}\).
Przykłady te wykazują także prawdziwość zdania b).