Liczby specjalne

[mol_ksiazkowy]

Liczba specjalna to taka liczba naturalna, którą może przedstawić w formie \(\displaystyle{ n = \frac{a^3+2b^3}{c^3+2d^3}}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) są to też liczby naturalne. Udowodnić,że istnieje nieskończona ilość liczb specjalnych
jak i wskazać przykład liczby która nie jest specjalna

[bosa_Nike]

Jeżeli \(\displaystyle{ t,k,m\in\ZZ_+}\), to każda liczba \(\displaystyle{ n}\) postaci \(\displaystyle{ t^{3(k-m)}}\), gdzie \(\displaystyle{ k-m\ge 0}\), jest specjalna. Wystarczy wziąć \(\displaystyle{ a=t^{k+1},\ b=t^k,\ c=t^{m+1},\ d=t^m}\). Ustalając np. \(\displaystyle{ t,m}\) widzimy, że liczb specjalnych jest nieskończenie wiele.

Liczba \(\displaystyle{ 2}\) nie jest specjalna. W równaniu \(\displaystyle{ 2\left(c^3+2d^3\right)=a^3+2b^3}\) strony nie przystają modulo osiem.

EDIT: Zredukowałam liczbę symboli. W drugiej części uzasadnienie jest na razie złe. Pomyślę jeszcze nad poprawieniem tego.

EDIT2: Myślę, że dla łatwiejszego uzasadnienia mogę wskazać liczbę \(\displaystyle{ 7}\). Równanie \(\displaystyle{ 7\left(c^3+2d^3\right)=a^3+2b^3\ (*)}\) rozważamy modulo siedem. Mamy \(\displaystyle{ x^3\equiv 0,1,6\pmod 7}\), więc \(\displaystyle{ 2y^3\equiv 0,2,5\pmod 7}\), czyli \(\displaystyle{ x^3+2y^3\equiv 0\pmod 7}\) wtw, gdy każda z liczb \(\displaystyle{ x,y}\) dzieli się przez siedem. Przypuśćmy, że znaleźliśmy najmniejszą (pod względem sumy) czwórkę liczb \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) spełniającą równanie \(\displaystyle{ (*)}\). Wówczas musimy mieć \(\displaystyle{ a=7a_1,\ b=7b_1}\), a więc spełnione jest równanie \(\displaystyle{ c^3+2d^3=7^2\left(a_1^3+2b_1^3\right)}\). Biorąc znów modulo siedem, z dokładnie tych samych powodów, co poprzednio, musimy mieć \(\displaystyle{ c=7c_1\ d=7d_1}\), a więc dostajemy \(\displaystyle{ 7\left(c_1^3+2d_1^3\right)=a_1^3+2b_1^3}\). To jest sprzeczność, bo suma liczb \(\displaystyle{ a_1,b_1,c_1,d_1}\) jest mniejsza niż suma liczb \(\displaystyle{ a,b,c,d}\).

[Brombal]

A gdyby tak?
\(\displaystyle{ a=b, c=d, a=c ^{3}}\)
to
\(\displaystyle{ n=c ^{6}}\)

ponieważ \(\displaystyle{ c}\) jest sporo to i \(\displaystyle{ n}\) jest dosyć sporo-- 6 lut 2019, o 19:07 --gdyby komuś przeszkadzało, że \(\displaystyle{ a=b, c=d}\)
To można zrobić tak:
\(\displaystyle{ k\in\ZZ_+}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=k \cdot b \\ c=k \cdot d\\b=d ^{3} \end{cases}}\)
a stąd
\(\displaystyle{ n=d ^{6}}\)