Podstawowa własność ciała Z[i]

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
niunix98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 19 lis 2017, o 20:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 17 razy

Podstawowa własność ciała Z[i]

Post autor: niunix98 »

Udowodnić, że dla \(\displaystyle{ \alpha , \beta \in \mathbb{Z} }\) mamy \(\displaystyle{ \alpha | \beta \Leftrightarrow \overline{\alpha} | \overline{\beta}}\) (korzystając z twierdzenia o dzieleniu z resztą w \(\displaystyle{ \mathbb{Z} }\)).

Próbowałem napisać \(\displaystyle{ \beta = \gamma \alpha}\); \(\displaystyle{ \overline{\beta} = \delta \overline{\alpha} + \epsilon}\), a przy drugim podejściu dalej rozpisywać \(\displaystyle{ \alpha = a + bi}\), ale do niczego sensownego nie doszedłem
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: Podstawowa własność ciała Z[i]

Post autor: karolex123 »

Uwaga: \(\displaystyle{ \ZZ }\) nie jest ciałem .
wskazówka jest taka: przekształcenie \(\displaystyle{ x \rightarrow \overline x}\) jest automorfizmem pierścienia \(\displaystyle{ \ZZ}\)
Awatar użytkownika
niunix98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 19 lis 2017, o 20:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 17 razy

Re: Podstawowa własność ciała Z[i]

Post autor: niunix98 »

Fakt, \(\displaystyle{ \ZZ}\) jest pierścieniem (kwadratowym). Dzisiaj spojrzałem na zadanie "na świeżo" i od razu nasunęła mi się odpowiedź \(\displaystyle{ \delta = \overline{\gamma} \Rightarrow \epsilon = 0}\), ale dzięki za podpowiedź
ODPOWIEDZ