liczby pierwsze

[Bratower]

1.Wyznacz wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\), takie , że \(\displaystyle{ p^2+14}\) jest liczbą pierwszą.
2. Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ n^2+n+1}\) gdzie \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}^+}\), nie jest kwadratem liczby naturalnej.
Proszę o jakieś wskazówki

[Janusz Tracz]

2) Zauważ, że \(\displaystyle{ n^2<n^2+n+1<n^2+2n+1=(n+1)^2}\). Zatem gdyby liczba \(\displaystyle{ n^2+n+1}\) była kwadratem to leżała by pomiędzy dwoma kolejnymi kwadratami co jest niemożliwe i prowadzi do sprzeczności.

[kerajs]

1)
Prócz liczb 2 i 3 pozostałe liczby pierwsze są liczbami o postaci \(\displaystyle{ 6n \pm 1}\)

Jedyne p spełniające warunki zadania to \(\displaystyle{ p=3}\). Pewnie już wiesz dlaczego.

[Bratower]

\(\displaystyle{ (6n-1)^2+14=36n^2-12n+1+14=36n^2-12+15=3(12n^2-4n+5)\\
(6n+1)^2+14=36n^2+12n+15=3(12n^2+4n+5)}\)
Czyli zadanie można rozwiązać tylko dzięki wiedzy o tym, że liczby pierwsze są w postaci \(\displaystyle{ 6n \pm 1}\) oprócz \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\)
Dla \(\displaystyle{ p=2, 4+14=18}\) nie jest liczbą pierwszą
Dla \(\displaystyle{ p=3, 9+14=23}\) liczba pierwsza