Wykaż, że kongruencja kwadratowa z modułem \(\displaystyle{ p>2}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ \frac{p-1}{2}}\) reszt kwadratowych i tylko samo niereszt kwadratowych.
Jak to zrobić?
Wykaż, że kongruencja kwadratowa
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: Wykaż, że kongruencja kwadratowa
Zauważ, że jeżeli kongurencja:
\(\displaystyle{ x^2=a}\) oczywiście modulo \(\displaystyle{ p}\)
ma albo ze rozwiązań, albo ma dwa rozwiązania:
\(\displaystyle{ x,y}\)
\(\displaystyle{ x^2=y^2}\)
z tego:
\(\displaystyle{ p|x^2-y^2=(x-y)(x+y) \Rightarrow p|x+y \vee p|x-y}\)
a stąd:
\(\displaystyle{ x= \pm y}\)
Czyli wynika stąd,że jeżeli kongurencja ma dwa rozwiązania są to rozwiązania różniące się znakiem...
a to, że ma : \(\displaystyle{ \frac{p-1}{2}}\) - reszt i tyle samo niereszt kwadratowych wynika z faktu:
\(\displaystyle{ x^2=1, x^2=2, x^2=3,...,x^2=p-1}\)
Każda z tych kongurencji albo ma dwa rozwiązania albo nie ma wcale...
Są to liczby:
\(\displaystyle{ 1^2, 2^2, 3^2,..., \left( \frac{p-1}{2}\right)^2}\)
cnd...
\(\displaystyle{ x^2=a}\) oczywiście modulo \(\displaystyle{ p}\)
ma albo ze rozwiązań, albo ma dwa rozwiązania:
\(\displaystyle{ x,y}\)
\(\displaystyle{ x^2=y^2}\)
z tego:
\(\displaystyle{ p|x^2-y^2=(x-y)(x+y) \Rightarrow p|x+y \vee p|x-y}\)
a stąd:
\(\displaystyle{ x= \pm y}\)
Czyli wynika stąd,że jeżeli kongurencja ma dwa rozwiązania są to rozwiązania różniące się znakiem...
a to, że ma : \(\displaystyle{ \frac{p-1}{2}}\) - reszt i tyle samo niereszt kwadratowych wynika z faktu:
\(\displaystyle{ x^2=1, x^2=2, x^2=3,...,x^2=p-1}\)
Każda z tych kongurencji albo ma dwa rozwiązania albo nie ma wcale...
Są to liczby:
\(\displaystyle{ 1^2, 2^2, 3^2,..., \left( \frac{p-1}{2}\right)^2}\)
cnd...