Istnienie liczb (formalne uzasadnienie)
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 6 sty 2019, o 05:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 13 razy
Istnienie liczb (formalne uzasadnienie)
Zastanawia mnie sprawa podzielności.
Z definicji: \(\displaystyle{ a|b \Leftrightarrow b = ak}\), dla \(\displaystyle{ a,b,k \in \ZZ}\).
Definicja do bycia poprawną wymaga istnienia obiektów. Skąd wiemy, że takie \(\displaystyle{ a,b}\) będą istnieć?
Jak się uzasadnia coś takiego formalnie?
Z definicji: \(\displaystyle{ a|b \Leftrightarrow b = ak}\), dla \(\displaystyle{ a,b,k \in \ZZ}\).
Definicja do bycia poprawną wymaga istnienia obiektów. Skąd wiemy, że takie \(\displaystyle{ a,b}\) będą istnieć?
Jak się uzasadnia coś takiego formalnie?
-
- Administrator
- Posty: 34276
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Istnienie liczb (formalne uzasadnienie)
Z definicji \(\displaystyle{ a|b \Leftrightarrow (\exists k\in\ZZ)b = ak}\) dla \(\displaystyle{ a,b \in \ZZ}\).PieknoMatematyki pisze:Z definicji: \(\displaystyle{ a|b \Leftrightarrow b = ak}\), dla \(\displaystyle{ a,b,k \in \ZZ}\).
Pytasz skąd wiadomo, że istnieją liczby całkowite?PieknoMatematyki pisze:Definicja do bycia poprawną wymaga istnienia obiektów. Skąd wiemy, że takie \(\displaystyle{ a,b}\) będą istnieć?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 6 sty 2019, o 05:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 13 razy
Istnienie liczb (formalne uzasadnienie)
Bardzo słuszna uwaga. Dziękuję Panu.Jan Kraszewski pisze:Z definicji \(\displaystyle{ a|b \Leftrightarrow (\exists k\in\ZZ)b = ak}\) dla \(\displaystyle{ a,b \in \ZZ}\).PieknoMatematyki pisze:Z definicji: \(\displaystyle{ a|b \Leftrightarrow b = ak}\), dla \(\displaystyle{ a,b,k \in \ZZ}\).
Pytam skąd wiadomo, że istnieją takie liczby całkowite, które będą spełniać definicję? Wystarczy, że znamy ich skończenie wiele i to już spełnia wymóg istnienia?Jan Kraszewski pisze: Pytasz skąd wiadomo, że istnieją liczby całkowite?
JK
-
- Administrator
- Posty: 34276
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Istnienie liczb (formalne uzasadnienie)
Definicja podzielności nie ma nic wspólnego z istnieniem \(\displaystyle{ a,b}\), które ją spełniają.PieknoMatematyki pisze:Pytam skąd wiadomo, że istnieją takie liczby całkowite, które będą spełniać definicję? Wystarczy, że znamy ich skończenie wiele i to już spełnia wymóg istnienia?
Definiujemy po prostu pewną zależność pomiędzy dwiema liczbami całkowitymi (formalnie: relację na zbiorze liczb całkowitych). To, czy jakieś liczby całkowite są ze sobą w tej relacji, czy też nie, nijak nie wpływa na poprawność tej definicji (nie wiem dlaczego uważasz, że wpływa). Mogłoby co najwyżej wpływać na jej sensowność (no bo po co definiować zależność, która nigdy nie zachodzi...), ale w tym ujęciu sensowność jest kategorią psychologiczną, a nie matematyczną.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 6 sty 2019, o 05:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 13 razy
Istnienie liczb (formalne uzasadnienie)
Dziękuję!
Skąd wziąłem? Pewnie nie do końca zrozumiałem to co było mówione na wykładzie, mianowicie, że definicja matematyczna musi spełniać dwa warunki. Jednym z nich jest warunek istnienia. Bałem się zapytać co to właściwie znaczy i pozostałem przy domysłach. :/
A ja lubię rozumieć i tak szukam w różnych miejscach.
Jeżeli napisałem coś głupiego to przepraszam, można powiedzieć, że dopiero zaczynam swoją przygodę z matematyką.
Skąd wziąłem? Pewnie nie do końca zrozumiałem to co było mówione na wykładzie, mianowicie, że definicja matematyczna musi spełniać dwa warunki. Jednym z nich jest warunek istnienia. Bałem się zapytać co to właściwie znaczy i pozostałem przy domysłach. :/
A ja lubię rozumieć i tak szukam w różnych miejscach.
Jeżeli napisałem coś głupiego to przepraszam, można powiedzieć, że dopiero zaczynam swoją przygodę z matematyką.
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Istnienie liczb (formalne uzasadnienie)
Pisałem o tym w tym temacie 434467.htm#p5552940
Definicja podzielności jest definicją pierwszego rodzaju (predykatu), a więc do jej poprawności nie potrzeba dołączać żadnych dowodów.matmatmm pisze:Ja bym podzielił definicje w matematyce na dwa rodzaje:
1. Definicje predykatów. Przykładowo:
Mówimy, że \(\displaystyle{ n}\) liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą całkowitą podzielną przez \(\displaystyle{ 2}\).
2. Definicje obiektów. Przykładowo:
Różnicą liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b}\) nazywamy taką liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ r}\), dla której \(\displaystyle{ b+r=a}\).
W przypadku definicji obiektów konieczne jest podanie dowodu istnienia i jednoznaczności definiowanego obiektu. Pozwala to również na przyjęcie symbolu oznaczającego dany obiekt.
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 6 sty 2019, o 05:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 13 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Istnienie liczb (formalne uzasadnienie)
Predykat to wyrażenie (zazwyczaj zależne od pewnych zmiennych), które opisuje własności tych zmiennych. Jest to w pewnym sensie zdanie, które mówi coś na temat tych zmiennych. Czyli na przykład "Zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest przeliczalny" jest predykatem zależnym od zmiennej \(\displaystyle{ X}\). A obiekt jak sama nazwa mówi, musi być czymś konkretnym (też może zależeć od pewnych zmiennych). Przykłady obiektów:
Zbiór liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\).
Iloczyn kartezjański \(\displaystyle{ A\times B}\). (Zależy od zmiennych \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\))
Liczba rzeczywista \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\). (Zależy od zmiennej \(\displaystyle{ x\ge 0}\))
Funkcja wykładnicza o podstawie \(\displaystyle{ e}\).
Słowo obiekt w sensie takim jak tutaj przestawiłem chyba nie funkcjonuje w matematyce, ale według mnie dobrze ono oddaje różnicę w tych dwóch typach definicji.
Zbiór liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\).
Iloczyn kartezjański \(\displaystyle{ A\times B}\). (Zależy od zmiennych \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\))
Liczba rzeczywista \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\). (Zależy od zmiennej \(\displaystyle{ x\ge 0}\))
Funkcja wykładnicza o podstawie \(\displaystyle{ e}\).
Słowo obiekt w sensie takim jak tutaj przestawiłem chyba nie funkcjonuje w matematyce, ale według mnie dobrze ono oddaje różnicę w tych dwóch typach definicji.