Istnienie liczb (formalne uzasadnienie)

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
PieknoMatematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 6 sty 2019, o 05:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 13 razy

Istnienie liczb (formalne uzasadnienie)

Post autor: PieknoMatematyki »

Zastanawia mnie sprawa podzielności.
Z definicji: \(\displaystyle{ a|b \Leftrightarrow b = ak}\), dla \(\displaystyle{ a,b,k \in \ZZ}\).

Definicja do bycia poprawną wymaga istnienia obiektów. Skąd wiemy, że takie \(\displaystyle{ a,b}\) będą istnieć?

Jak się uzasadnia coś takiego formalnie?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Istnienie liczb (formalne uzasadnienie)

Post autor: Jan Kraszewski »

PieknoMatematyki pisze:Z definicji: \(\displaystyle{ a|b \Leftrightarrow b = ak}\), dla \(\displaystyle{ a,b,k \in \ZZ}\).
Z definicji \(\displaystyle{ a|b \Leftrightarrow (\exists k\in\ZZ)b = ak}\) dla \(\displaystyle{ a,b \in \ZZ}\).
PieknoMatematyki pisze:Definicja do bycia poprawną wymaga istnienia obiektów. Skąd wiemy, że takie \(\displaystyle{ a,b}\) będą istnieć?
Pytasz skąd wiadomo, że istnieją liczby całkowite?

JK
PieknoMatematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 6 sty 2019, o 05:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 13 razy

Istnienie liczb (formalne uzasadnienie)

Post autor: PieknoMatematyki »

Jan Kraszewski pisze:
PieknoMatematyki pisze:Z definicji: \(\displaystyle{ a|b \Leftrightarrow b = ak}\), dla \(\displaystyle{ a,b,k \in \ZZ}\).
Z definicji \(\displaystyle{ a|b \Leftrightarrow (\exists k\in\ZZ)b = ak}\) dla \(\displaystyle{ a,b \in \ZZ}\).
Bardzo słuszna uwaga. Dziękuję Panu.
Jan Kraszewski pisze: Pytasz skąd wiadomo, że istnieją liczby całkowite?

JK
Pytam skąd wiadomo, że istnieją takie liczby całkowite, które będą spełniać definicję? Wystarczy, że znamy ich skończenie wiele i to już spełnia wymóg istnienia?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Istnienie liczb (formalne uzasadnienie)

Post autor: Jan Kraszewski »

PieknoMatematyki pisze:Pytam skąd wiadomo, że istnieją takie liczby całkowite, które będą spełniać definicję? Wystarczy, że znamy ich skończenie wiele i to już spełnia wymóg istnienia?
Definicja podzielności nie ma nic wspólnego z istnieniem \(\displaystyle{ a,b}\), które ją spełniają.

Definiujemy po prostu pewną zależność pomiędzy dwiema liczbami całkowitymi (formalnie: relację na zbiorze liczb całkowitych). To, czy jakieś liczby całkowite są ze sobą w tej relacji, czy też nie, nijak nie wpływa na poprawność tej definicji (nie wiem dlaczego uważasz, że wpływa). Mogłoby co najwyżej wpływać na jej sensowność (no bo po co definiować zależność, która nigdy nie zachodzi...), ale w tym ujęciu sensowność jest kategorią psychologiczną, a nie matematyczną.

JK
PieknoMatematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 6 sty 2019, o 05:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 13 razy

Istnienie liczb (formalne uzasadnienie)

Post autor: PieknoMatematyki »

Dziękuję!
Skąd wziąłem? Pewnie nie do końca zrozumiałem to co było mówione na wykładzie, mianowicie, że definicja matematyczna musi spełniać dwa warunki. Jednym z nich jest warunek istnienia. Bałem się zapytać co to właściwie znaczy i pozostałem przy domysłach. :/
A ja lubię rozumieć i tak szukam w różnych miejscach.
Jeżeli napisałem coś głupiego to przepraszam, można powiedzieć, że dopiero zaczynam swoją przygodę z matematyką.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Istnienie liczb (formalne uzasadnienie)

Post autor: matmatmm »

Pisałem o tym w tym temacie 434467.htm#p5552940
matmatmm pisze:Ja bym podzielił definicje w matematyce na dwa rodzaje:

1. Definicje predykatów. Przykładowo:

Mówimy, że \(\displaystyle{ n}\) liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą całkowitą podzielną przez \(\displaystyle{ 2}\).

2. Definicje obiektów. Przykładowo:

Różnicą liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b}\) nazywamy taką liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ r}\), dla której \(\displaystyle{ b+r=a}\).

W przypadku definicji obiektów konieczne jest podanie dowodu istnienia i jednoznaczności definiowanego obiektu. Pozwala to również na przyjęcie symbolu oznaczającego dany obiekt.
Definicja podzielności jest definicją pierwszego rodzaju (predykatu), a więc do jej poprawności nie potrzeba dołączać żadnych dowodów.
PieknoMatematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 6 sty 2019, o 05:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 13 razy

Istnienie liczb (formalne uzasadnienie)

Post autor: PieknoMatematyki »

Dziękuję
ak rozróżnić co jest predykatem a co obiektem?
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Istnienie liczb (formalne uzasadnienie)

Post autor: matmatmm »

Predykat to wyrażenie (zazwyczaj zależne od pewnych zmiennych), które opisuje własności tych zmiennych. Jest to w pewnym sensie zdanie, które mówi coś na temat tych zmiennych. Czyli na przykład "Zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest przeliczalny" jest predykatem zależnym od zmiennej \(\displaystyle{ X}\). A obiekt jak sama nazwa mówi, musi być czymś konkretnym (też może zależeć od pewnych zmiennych). Przykłady obiektów:
Zbiór liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\).
Iloczyn kartezjański \(\displaystyle{ A\times B}\). (Zależy od zmiennych \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\))
Liczba rzeczywista \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\). (Zależy od zmiennej \(\displaystyle{ x\ge 0}\))
Funkcja wykładnicza o podstawie \(\displaystyle{ e}\).

Słowo obiekt w sensie takim jak tutaj przestawiłem chyba nie funkcjonuje w matematyce, ale według mnie dobrze ono oddaje różnicę w tych dwóch typach definicji.
ODPOWIEDZ