ile różnych wartości może przyjąć k

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
Bratower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 103
Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 64 razy
Pomógł: 2 razy

ile różnych wartości może przyjąć k

Post autor: Bratower »

1. Niech \(\displaystyle{ k=\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}}\). Ile różnych wartości może przyjąć \(\displaystyle{ k}\)?
2. Ile jest liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) takich, że liczba \(\displaystyle{ n^2+n}\) jest pierwsza?
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: ile różnych wartości może przyjąć k

Post autor: leg14 »

2. z dwoch kolejnych liczb jedna na pewno jest parzysta
1. rozbisz sobie \(\displaystyle{ k(b+c)= a; k(c+a) = b; k(a+b) = c}\) i zsumuj stronami
Awatar użytkownika
Bratower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 103
Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 64 razy
Pomógł: 2 razy

Re: ile różnych wartości może przyjąć k

Post autor: Bratower »

1.
\(\displaystyle{ k=\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\\b+c\not=0,c+a\not=0,a+b\not=0\\
\begin{cases}k(b+c)=a\\k(c+a)=b\\k(a+b)=c\end{cases}\\k(b+c)+k(c+a)+k(a+b)=a+b+c\\k(b+c+c+a+a+b)=a+b+c\\k(2a+2b+2c)=a+b+c\\2k(a+b+c)=a+b+c\\2k(a+b+c)-(a+b+c)=0\\(a+b+c)(2k-1)=0\\(a+b+c)=0 \vee 2k-1=0\Rightarrow k=\frac{1}{2}\\k=\frac{a}{-a}=-1\\k=-1\vee k=\frac{1}{2}}\)

Stąd \(\displaystyle{ k}\) może przyjąć \(\displaystyle{ 2}\) wartości.
2.
\(\displaystyle{ n^2+n=n(n+1)}\)
Dwie kolejne liczby, jedna parzysta. Tylko \(\displaystyle{ 2}\) jest liczba parzysta i pierwszą więc szukane liczby to \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\). Czyli jedna liczba w postaci \(\displaystyle{ n=1}\) spełnia warunki zadania.
PieknoMatematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 6 sty 2019, o 05:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 13 razy

Re: ile różnych wartości może przyjąć k

Post autor: PieknoMatematyki »

Bratower, tak dla ścisłości to powinieneś się zastrzec, że tak:
\(\displaystyle{ (a+b+c) = 0}\)
być nie ma prawa. Więc to rozwiązanie trzeba by odrzucić.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: ile różnych wartości może przyjąć k

Post autor: Jan Kraszewski »

PieknoMatematyki pisze:Bratower, tak dla ścisłości to powinieneś się zastrzec, że tak:
\(\displaystyle{ (a+b+c) = 0}\)
być nie ma prawa.
A dlaczego nie ma prawa? Sprawdź np. \(\displaystyle{ a=-2, b=c=1}\).

JK
PieknoMatematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 6 sty 2019, o 05:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 13 razy

Re: ile różnych wartości może przyjąć k

Post autor: PieknoMatematyki »

Jan Kraszewski, źle się wyraziłem.

Chodzi mi o to, że kolega zrobił ukryte dzielenie, jeżeli nie założy, to \(\displaystyle{ k}\) wyjdzie dowolne, a to nie jest prawdą.

Dla \(\displaystyle{ a+b+c = 0}\)
wyrażenie:
\(\displaystyle{ (a+b+c)(2k-1) = 0}\) jest prawdziwe dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\), a ten układ na początku nie.

Dlatego na końcu wyskoczyło to drugie równanie bez zapowiedzi jak bandzior.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: ile różnych wartości może przyjąć k

Post autor: a4karo »

Dobrze kombinujesz, ale za krótko.

Skoro \(\displaystyle{ a+b+c=0}\) to \(\displaystyle{ b+c=-a}\) i wtedy z równania \(\displaystyle{ k(b+c)=a}\) wynika \(\displaystyle{ k=-1}\)
ODPOWIEDZ