1. Niech \(\displaystyle{ k=\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}}\). Ile różnych wartości może przyjąć \(\displaystyle{ k}\)?
2. Ile jest liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) takich, że liczba \(\displaystyle{ n^2+n}\) jest pierwsza?
ile różnych wartości może przyjąć k
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Re: ile różnych wartości może przyjąć k
2. z dwoch kolejnych liczb jedna na pewno jest parzysta
1. rozbisz sobie \(\displaystyle{ k(b+c)= a; k(c+a) = b; k(a+b) = c}\) i zsumuj stronami
1. rozbisz sobie \(\displaystyle{ k(b+c)= a; k(c+a) = b; k(a+b) = c}\) i zsumuj stronami
- Bratower
- Użytkownik
- Posty: 103
- Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 64 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: ile różnych wartości może przyjąć k
1.
\(\displaystyle{ k=\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\\b+c\not=0,c+a\not=0,a+b\not=0\\
\begin{cases}k(b+c)=a\\k(c+a)=b\\k(a+b)=c\end{cases}\\k(b+c)+k(c+a)+k(a+b)=a+b+c\\k(b+c+c+a+a+b)=a+b+c\\k(2a+2b+2c)=a+b+c\\2k(a+b+c)=a+b+c\\2k(a+b+c)-(a+b+c)=0\\(a+b+c)(2k-1)=0\\(a+b+c)=0 \vee 2k-1=0\Rightarrow k=\frac{1}{2}\\k=\frac{a}{-a}=-1\\k=-1\vee k=\frac{1}{2}}\)
Stąd \(\displaystyle{ k}\) może przyjąć \(\displaystyle{ 2}\) wartości.
2.
\(\displaystyle{ n^2+n=n(n+1)}\)
Dwie kolejne liczby, jedna parzysta. Tylko \(\displaystyle{ 2}\) jest liczba parzysta i pierwszą więc szukane liczby to \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\). Czyli jedna liczba w postaci \(\displaystyle{ n=1}\) spełnia warunki zadania.
\(\displaystyle{ k=\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\\b+c\not=0,c+a\not=0,a+b\not=0\\
\begin{cases}k(b+c)=a\\k(c+a)=b\\k(a+b)=c\end{cases}\\k(b+c)+k(c+a)+k(a+b)=a+b+c\\k(b+c+c+a+a+b)=a+b+c\\k(2a+2b+2c)=a+b+c\\2k(a+b+c)=a+b+c\\2k(a+b+c)-(a+b+c)=0\\(a+b+c)(2k-1)=0\\(a+b+c)=0 \vee 2k-1=0\Rightarrow k=\frac{1}{2}\\k=\frac{a}{-a}=-1\\k=-1\vee k=\frac{1}{2}}\)
Stąd \(\displaystyle{ k}\) może przyjąć \(\displaystyle{ 2}\) wartości.
2.
\(\displaystyle{ n^2+n=n(n+1)}\)
Dwie kolejne liczby, jedna parzysta. Tylko \(\displaystyle{ 2}\) jest liczba parzysta i pierwszą więc szukane liczby to \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\). Czyli jedna liczba w postaci \(\displaystyle{ n=1}\) spełnia warunki zadania.
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 6 sty 2019, o 05:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 13 razy
Re: ile różnych wartości może przyjąć k
Bratower, tak dla ścisłości to powinieneś się zastrzec, że tak:
być nie ma prawa. Więc to rozwiązanie trzeba by odrzucić.\(\displaystyle{ (a+b+c) = 0}\)
-
- Administrator
- Posty: 34342
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: ile różnych wartości może przyjąć k
A dlaczego nie ma prawa? Sprawdź np. \(\displaystyle{ a=-2, b=c=1}\).PieknoMatematyki pisze:Bratower, tak dla ścisłości to powinieneś się zastrzec, że tak:być nie ma prawa.\(\displaystyle{ (a+b+c) = 0}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 6 sty 2019, o 05:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 13 razy
Re: ile różnych wartości może przyjąć k
Jan Kraszewski, źle się wyraziłem.
Chodzi mi o to, że kolega zrobił ukryte dzielenie, jeżeli nie założy, to \(\displaystyle{ k}\) wyjdzie dowolne, a to nie jest prawdą.
Dla \(\displaystyle{ a+b+c = 0}\)
wyrażenie:
\(\displaystyle{ (a+b+c)(2k-1) = 0}\) jest prawdziwe dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\), a ten układ na początku nie.
Dlatego na końcu wyskoczyło to drugie równanie bez zapowiedzi jak bandzior.
Chodzi mi o to, że kolega zrobił ukryte dzielenie, jeżeli nie założy, to \(\displaystyle{ k}\) wyjdzie dowolne, a to nie jest prawdą.
Dla \(\displaystyle{ a+b+c = 0}\)
wyrażenie:
\(\displaystyle{ (a+b+c)(2k-1) = 0}\) jest prawdziwe dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\), a ten układ na początku nie.
Dlatego na końcu wyskoczyło to drugie równanie bez zapowiedzi jak bandzior.
-
- Użytkownik
- Posty: 22233
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
Re: ile różnych wartości może przyjąć k
Dobrze kombinujesz, ale za krótko.
Skoro \(\displaystyle{ a+b+c=0}\) to \(\displaystyle{ b+c=-a}\) i wtedy z równania \(\displaystyle{ k(b+c)=a}\) wynika \(\displaystyle{ k=-1}\)
Skoro \(\displaystyle{ a+b+c=0}\) to \(\displaystyle{ b+c=-a}\) i wtedy z równania \(\displaystyle{ k(b+c)=a}\) wynika \(\displaystyle{ k=-1}\)