Podzielność z NWW

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Podzielność z NWW

Post autor: mol_ksiazkowy »

Udowodnić, że \(\displaystyle{ NWW(1,...,2n)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ {2n \choose n }}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3, ...}\)
PieknoMatematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 6 sty 2019, o 05:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 13 razy

Re: Podzielność z NWW

Post autor: PieknoMatematyki »

\(\displaystyle{ NWD}\) tych liczb, to oczywiście \(\displaystyle{ 1}\).
W takim razie trzeba udowodnić, że \(\displaystyle{ 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2n}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ \frac{(2n)!}{n!n!}}\)

Starczy zauważyć, że dla danego \(\displaystyle{ n}\) wyrażenie \(\displaystyle{ 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2n}\) jest równe \(\displaystyle{ (2n)!}\). Dalej podzielność jest oczywista.

Mam nadzieję, że dobrze zrozumiałem zadanie.
Awatar użytkownika
Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 778
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

Re: Podzielność z NWW

Post autor: Slup »

PieknoMatematyki czy mógłbyś bardziej precyzyjnie rozpisać dwie pierwsze linijki swojego rozwiązania?
Ukryta treść:    
Tutaj jest bardziej skomplikowane rozwiązanie.
Ukryta treść:    
PieknoMatematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 6 sty 2019, o 05:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 13 razy

Re: Podzielność z NWW

Post autor: PieknoMatematyki »

Slup, musiałem się nie wyspać. To jest bzdura co napisałem wyżej.

Chciałem zmodyfikować dowód, ale Twój jest ładniejszy, więc sobie daruję zamieszczanie moich kombinacji tutaj.
Dziękuję za uwagę.

mol_ksiazkowy, przepraszam za błąd.
ODPOWIEDZ