Witam,
Ostatnimi czasy zajmuję się twierdzeniem Fermata o rozkładzie liczby pierwszej na sumę dwóch kwadratów.
a) Chciałem sprawdzić czy \(\displaystyle{ 2p^2}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) - pierwsza, jest rozkładalna na sumę dwóch kwadratów (to akurat łatwo pokazać kiedy)
b) Dodatkową jednak rzeczą, którą chciałem zrobić to to aby składniki danego rozkładu były tak samo rozkładalne i tu zaczyna się ciekawie..
a)
Niech \(\displaystyle{ p}\) - pierwsza i \(\displaystyle{ p=4k+1}\), wtedy:
\(\displaystyle{ p=x^2 + y^2}\)
\(\displaystyle{ p^2=(x^2-y^2)^2 + (2xy)^2}\)
\(\displaystyle{ 2p^2=(x^2-y^2-2xy)^2 + (x^2-y^2+2xy)^2}\)
b)
Zgodnie z tym co szukamy:
\(\displaystyle{ (x^2-y^2-2xy)^2 = a(x, y)^2 + b(x, y)^2}\)
\(\displaystyle{ (x^2-y^2+2xy)^2 = c(x, y)^2 + d(x, y)^2}\)
Próbowałem różnie szukać \(\displaystyle{ a, b, c, d}\), ale cały czas nie wychodzi...
Oczywiście daje przykład, który działa:
\(\displaystyle{ p=53=2^2 + 7^2}\)
\(\displaystyle{ p^2=45^2 + 28^2}\)
\(\displaystyle{ 2p^2=17^2 + 73^2}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ 17}\) i \(\displaystyle{ 73}\) to liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ p=4k+1}\), więc mają rozkład na sumę dwóch kwadratów, czyli to co potrzebuję
