Matematyka.pl

dowiedz ze liczba \(\displaystyle{ cos\frac{\pi}{12}}\) jest liczba niewymierna

\(\displaystyle{ \cos(4*\frac{\pi}{12})=4\cos^4(\frac{\pi}{12})-8\cos^2(\frac{\pi}{12})+1=\frac{p}{q}\\
t=cos^2(\frac{\pi}{12})}\)
i powinno wyjść coś w stylu liczba niewymierna=cos(pi/12).

Albo inaczej:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}=2\cos^2 \frac{\pi}{12}-1}\)
i już widać, że nie może być wymierny.

ja mam problem z takim przykładem \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) - \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) mam sprawdzić czy jest to liczba wymierna, a nie wiem jak to zrobić przez pierwiastek tzreciego stopnia

może tak:
niewprost
\(\displaystyle{ (\sqrt[3]{2}-\sqrt{2})=p-q,\ gdzie\ p,q W}\)
po podniesieniu do 3 potęgi wyjdzie, że \(\displaystyle{ p^3=2, q^3=2\sqrt{2}}\)

Nie można niestety tak sobie założyć, że jeśli \(\displaystyle{ (a-b)\in W a\in w b\in W}\)

Nie nooo, różnica liczb wymiernych jest liczbą wymierną. Indukcja odwrotna do Twojej jest prawdziwa.
//edit - masz rację

Zobacz niech\(\displaystyle{ a=\sqrt{2} b=\sqrt{2}-1}\) W takim wypadku \(\displaystyle{ a,b NW}\), ale \(\displaystyle{ (a-b)=1\inW}\)

W takim razie może:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}-\sqrt{2}=w\\
\sqrt[3]{2}=w+\sqrt{2}\ |^3\\
2=w^3+3w^2\sqrt{2}+3w2+\sqrt{2^3}\\
\sqrt{2^3}=2\sqrt{2}}\)

Tu też nie ma tak łatwo, bo nadal masz drugi kładnik postaci\(\displaystyle{ 3w^{2}\sqrt{2}}\), który tez jest niewymierny, a więc nie rozstrzyga to

Ale z tego ze
\(\displaystyle{ 2=w^{3}+3w^{2}\sqrt{2}+6w+2\sqrt{2}}\)
wynika ze
\(\displaystyle{ 3w^{2}+2}\) jest niewymierna, a i bym zapomnial, moze byc tez zero
(bo 2 jest wymierna)

a to jest prawidłowe rozwiązanie?

g-dreamer pisze:może tak:
niewprost
\(\displaystyle{ (\sqrt[3]{2}-\sqrt{2})=p-q,\ gdzie\ p,q W}\)
po podniesieniu do 3 potęgi wyjdzie, że \(\displaystyle{ p^3=2, q^3=2\sqrt{2}}\)

juvex: nie jest.
\(\displaystyle{ 0=w^3+3w^2\sqrt{2}+6w+2\sqrt{2}\\
3w^2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=-w^3-6w\\
\sqrt{2}=\frac{-w^3-6w}{3w^2+2}}\)
teraz chyba jest ok.