Wyznacz zbiór rozwiązań następujących równań

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Angius
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 27 lis 2018, o 02:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Eurazja
Podziękował: 1 raz

Wyznacz zbiór rozwiązań następujących równań

Post autor: Angius »

Wyznacz zbiór rozwiązań następujących równań:

a) \(\displaystyle{ 21x \equiv _{36} 7}\)
b) \(\displaystyle{ 16x \equiv _{7} 6}\)
c) \(\displaystyle{ 4x \equiv _{44} 16}\)
d) \(\displaystyle{ 2x \equiv _{4} 3}\)

Rozwiązałem już:

a)
\(\displaystyle{ NWD(21, 36) = 3 \land 3 \nmid 7 \Rightarrow \textsl{brak rozwizan}}\)

b)
\(\displaystyle{ NWD(16, 7) = 1 \Rightarrow \textsl{nieskonczenie wiele rozwizan}}\)
\(\displaystyle{ 1 = \frac{1}{2} \cdot 16 + (-1) \cdot 7 \rightarrow \left \{ \frac{1}{2} \cdot 6 + (-1) \cdot 7k : k \in \mathbb{Z} \right \} = \left \{ 3 - 7k : k \in \mathbb{Z} \right \}}\)

c)
\(\displaystyle{ NWD(4, 44) = 4 \land 4 \mid 16 \Rightarrow \textsl{nieskonczenie wiele rozwizan}}\)
\(\displaystyle{ 4 = 10 \cdot 4 + 44 \rightarrow \left \{ -10 \cdot \frac{16}{4} + \frac{44}{4}k : k \in \mathbb{Z} \right \} = \left \{ -10 \cdot 4 + 11k : k \in \mathbb{Z} \right \} = \left \{ -40 + 11k : k \in \mathbb{Z} \right \}}\)

d)
\(\displaystyle{ NWD(2, 4) = 2 \land 2 \nmid 3 \Rightarrow \textsl{brak rozwizan}}\)

Ale podejrzewam, że ostatnie klamry w b i c nie są poprawne. Spojrzałem na :
AU
AU
1798545d65e397145856eddfdecab0f7.png (1.19 KiB) Przejrzano 103 razy
i nie mam pojęcia skąd wzięło się tam 13, a nie -8.

Mógłby ktoś wyjaśnić mi jak to się stało?
PieknoMatematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 6 sty 2019, o 05:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 13 razy

Re: Wyznacz zbiór rozwiązań następujących równań

Post autor: PieknoMatematyki »

a) i d) jest OK.

Pytanie, czy wiesz wgl co masz robić w b) i c)?


i nie mam pojęcia skąd wzięło się tam \(\displaystyle{ 13}\), a nie \(\displaystyle{ -8}\).
\(\displaystyle{ -8 = 13}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_{21}}\)
Angius
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 27 lis 2018, o 02:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Eurazja
Podziękował: 1 raz

Re: Wyznacz zbiór rozwiązań następujących równań

Post autor: Angius »

Do momentu przedostatniej klamry wiem. Tak mi się przynajmniej wydaje.

Jeśli chodzi o \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{21}}\), tu już gorzej. Wiem tylko że chodzi tu o grupę cykliczną, ale jak dokładnie to obliczyć – nie mam pojęcia.
PieknoMatematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 6 sty 2019, o 05:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 13 razy

Re: Wyznacz zbiór rozwiązań następujących równań

Post autor: PieknoMatematyki »

Angius pisze:Do momentu przedostatniej klamry wiem. Tak mi się przynajmniej wydaje.
Zatem krok po kroku, pokaż co robimy w takiej sytuacji.
Angius pisze: Jeśli chodzi o \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{21}}\), tu już gorzej. Wiem tylko że chodzi tu o grupę cykliczną, ale jak dokładnie to obliczyć – nie mam pojęcia.
Rozszerzony algorytm Euklidesa jest Ci znany?
ODPOWIEDZ