Oblicz symbol Jacobiego

[max123321]

Obliczyć symbol Jacobiego \(\displaystyle{ \left( \frac{902}{3131} \right)}\). Czy \(\displaystyle{ 902}\) jest resztą kwadratową \(\displaystyle{ \mod 3131}\)?

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
\(\displaystyle{ ( \frac{902}{3131})=\left( \frac{2}{3131} \right) \left( \frac{451}{3131} \right)=}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{31} \right)\left( \frac{2}{101} \right)\left( \frac{451}{31} \right)\left( \frac{451}{101} \right)=1 \cdot (-1)\left( \frac{17}{31} \right)\left( \frac{47}{101} \right)=}\)
\(\displaystyle{ -\left( \frac{31}{17} \right)\left( \frac{101}{47} \right)=-\left( \frac{14}{17} \right)\left( \frac{7}{47} \right)=-\left( \frac{2}{17} \right)\left( \frac{7}{17} \right) \cdot \left( -1\right)\left( \frac{47}{7} \right)=}\)
\(\displaystyle{ (-1) \cdot 1 \cdot \left( \frac{17}{7} \right) \cdot (-1)\left( \frac{5}{7} \right) =\left( \frac{3}{7} \right)\left( \frac{5}{7} \right)=(-1)\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{2}{5} \right)=(-1)(-1)=1}\).

Czy tak jest dobrze? A jak teraz sprawdzić czy \(\displaystyle{ 902}\) jest resztą kwadratową?

[PoweredDragon]

Czym jest symbol Jacobiego? Kiedy jest równy 1, kiedy -1, kiedy 0?

[max123321]

No jeden jest równy wtedy kiedy licznik jest resztą kwadratową lub gdy licznik nie jest resztą kwadratową modulo mianownik. Czy te obliczenia są poprawne? Jeśli tak, to skoro dostaliśmy jeden to jak sprawdzić czy jest to reszta kwadratowa?

[Tulio]

Sprawdziłem obliczenia, są poprawne.

[PoweredDragon]

Te obliczenia są poprawne.
Przy okazji \(\displaystyle{ \left( \frac{3}{7}\right) \left( \frac{5}{7}\right) = \left( \frac{15}{7}\right) = \left( \frac{1}{7}\right) =1}\) tak jest chyba łatwiej?

Mój błąd. Zapomniałem, że Symbol Jacobiego jest słaby, bo nie daje jednoznacznej odpowiedzi co do tego, czy faktycznie liczba jest resztą kwadratową.

W pełni szczerze? Nie jest to reszta kwadratowa.
I nie mam teraz konkretnie pomysłu, jak to sprawdzić (choć zauważyłem, że nie jest, bo program wypisał mi wszystkie pierwiastki z liczb postaci \(\displaystyle{ 902+a \cdot 3131}\) i żadna nie jest kwadratem). [Nie ta pora, jutro coś pewnie wymyślę]...

[Sylwek]

\(\displaystyle{ 3131=31 \cdot 101}\), a \(\displaystyle{ 902}\) nie jest resztą kwadratową modulo te liczby pierwsze: \(\displaystyle{ 31}\), \(\displaystyle{ 101}\).

P.S. Stąd też wartość szukanego symbolu Jacobiego \(\displaystyle{ =(-1) \cdot (-1) = 1}\)