ile dzielników ma liczba

[Bratower]

1. Ile dodatnich dzielników ma liczba \(\displaystyle{ 6n}\), jeśli wiadomo, że iczba \(\displaystyle{ 2n}\) ma \(\displaystyle{ 28}\) dodatnich dzielników, a liczba \(\displaystyle{ 3n}\) ma ich \(\displaystyle{ 30}\)?
2. Po skreśleniu ostatniej cyfry pewnej liczby całkowitej dodatniej otrzymano liczbę \(\displaystyle{ 14}\) razy mniejszą. Ile jest liczb o tej własności?
3. Ile liczb \(\displaystyle{ 8}\)-cyfrowych \(\displaystyle{ \overline{a_1a_2a_3...a_8}}\), których cyframi są zera lub jedynki\(\displaystyle{ (a_1=1)}\), ma tę własność, że
\(\displaystyle{ a_1+a_3+a_5+a_7=a_2+a_4+a_6+a_8}\)?
Proszę o jakieś wskazówki

[kerajs]

1)
Niech \(\displaystyle{ n=p_1^{\alpha_1}\cdot \ldots p_k^{\alpha_k}}\) ( gdzie \(\displaystyle{ p_1, \ldots ,p_k}\) są różnymi liczbami pierwszymi) będzie rozkładem liczby \(\displaystyle{ n}\) na czynniki pierwsze. Wtedy jej liczba dzielników to:
\(\displaystyle{ d = \prod_{j=1}^k \left(\alpha_j+1\right) = (\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_k+1)}\)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ n=2^53^3}\)

2)
Niech szukaną liczbą będzie \(\displaystyle{ 10a+b}\) gdzie \(\displaystyle{ 0 \le b \le 9}\)
Wiesz że:
\(\displaystyle{ 14a=10a+b}\)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 14,28}\)

3)
Rozpatrz cztery przypadki:
a)
\(\displaystyle{ a_1+a_3+a_5+a_7=a_2+a_4+a_6+a_8=1}\)
b)
\(\displaystyle{ a_1+a_3+a_5+a_7=a_2+a_4+a_6+a_8=2}\)
c)
\(\displaystyle{ a_1+a_3+a_5+a_7=a_2+a_4+a_6+a_8=3}\)
d)
\(\displaystyle{ a_1+a_3+a_5+a_7=a_2+a_4+a_6+a_8=4}\)

Ukryta treść:    

a) \(\displaystyle{ {3 \choose 0} {4 \choose 1}}\)
b) \(\displaystyle{ {3 \choose 1} {4 \choose 2}}\)
c) \(\displaystyle{ {3 \choose 2} {4 \choose 3}}\)
d) \(\displaystyle{ {3 \choose 3} {4 \choose 4}}\)

[Bratower]

1.
\(\displaystyle{ 28=2\cdot14=2\cdot2\cdot7\\
2n=28=2^2\cdot7^1\\
d=\prod ^k_{j=1}(a_j+1)=(a_1+1)\cdot...\cdot(a_k+1)\\
d_1=(a_1+1)\cdot(a_2+1)=(2+1)\cdot(1+1)=3\cdot2=6\\
3n=30=2\cdot15=2\cdot3\cdot5=2^1\cdot3^1\cdot5^1\\
d_2=(a_1+1)\cdot(a_2+1)\cdot(a_3+1)=(1+1)\cdot(1+1)\cdot(1+1)=8}\)
I co teraz?

[kerajs]

1.
\(\displaystyle{ 28=2\cdot14=2\cdot2\cdot7\\
2n=28=2^2\cdot7}\)

Opacznie zrozumiałeś moje wskazówki.
Rozkład \(\displaystyle{ 28=2^2\cdot7}\) sugeruje, że możliwe są sytuacje:
1) \(\displaystyle{ 28=2^2\cdot7=\left( \alpha _1+1\right)\left( \alpha _2+1\right)\left( \alpha _3+1\right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha _1=1 \wedge \alpha _2=1 \wedge \alpha _3 =6}\)
2) \(\displaystyle{ 28=2^2\cdot7=\left( \alpha _1+1\right)\left( \alpha _2+1\right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha _1=3 \wedge \alpha _2=6}\)
W obu przypadkach liczba 2n posiada czynnik o wykładniku 6.
Ponieważ sumy dzielników liczby liczby 3n nie można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ 7 \cdot \text{coś}}\) (gdyby w liczbie n był czynnik różny od 2 i od 3, o wykładniku 6), ani w postaci \(\displaystyle{ 8 \cdot \text{coś}}\) ( gdyby n zawierała \(\displaystyle{ 3^6}\)) więc liczba n dzieli się przez \(\displaystyle{ 2^5}\) (a liczba 2n dzieli się przez \(\displaystyle{ 2^6}\))

Dzielniki pierwsze liczby 3n mogą mieć wykładniki:
1)
\(\displaystyle{ 30=2 \cdot 3 \cdot 5=(1+ \alpha _1)(1+ \alpha _2)(1+ \alpha _3)\\
\alpha _1=1 \wedge \alpha _2=2 \wedge \alpha _3=4}\)
2)
\(\displaystyle{ 30=2 \cdot 15 =(1+ \alpha _1)(14+ \alpha _2)\\
\alpha _1=1 \wedge \alpha _2=14}\)
3)
\(\displaystyle{ 30=3 \cdot 10=(1+ \alpha _1)(1+ \alpha _2)\\
\alpha _1=2 \wedge \alpha _2=9}\)
4)
\(\displaystyle{ 30=5 \cdot 6 =(1+ \alpha _1)(1+ \alpha _2)\\
\alpha _1=4 \wedge \alpha _2=5}\)

Jednak tylko w 4) liczba n może zawierać \(\displaystyle{ 2^5}\). Wykładnik równy 4 musi być potęgą liczby 3 gdyż 3n musi zawierać trójkę w rozkładzie na czynniki pierwsze. Stąd \(\displaystyle{ n=2^53^3}\)
Liczba dodatnich dzielników liczby 6n (\(\displaystyle{ 2^63^4}\)) to:
\(\displaystyle{ d_{6n}=(1+6)(1+4)=35}\)