Wyznacz wszystkie pary liczb \(\displaystyle{ (a,b)}\) dodatnich liczb całkowitych, które spełniają równanie:
\(\displaystyle{ ab= (a-b)^{3}}\)
Pary liczb spełniające równanie
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Re: Pary liczb spełniające równanie
Niech \(\displaystyle{ a = b + k}\) dla \(\displaystyle{ k \in N}\)
Równanie jest równoważne postaci: \(\displaystyle{ b^{2} + bk - k^{3} = 0}\).
Pierwiastek z delty wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{X} = \sqrt{k^{2} + 4k^{3}} = k \sqrt{4k+1}}\).
Niech \(\displaystyle{ 4k + 1 = N^{2} \Rightarrow k = \frac{N^{2}-1}{4}}\)
Przyjmujemy, że \(\displaystyle{ b = \frac{-k + kN}{2} = \frac{N^{2}-1}{8}\left(N-1\right)}\) oraz \(\displaystyle{ a = b + k = \frac{N^{2}-1}{8}\left(N+1\right)}\)
Wystarczy wziąć teraz \(\displaystyle{ N}\) nieparzyste, wtedy \(\displaystyle{ a, b}\) należą do całkowitych dodatnich, ponieważ \(\displaystyle{ 8|N^{2} - 1}\), skąd rozwiązań jest nieskończenie wiele.
Równanie jest równoważne postaci: \(\displaystyle{ b^{2} + bk - k^{3} = 0}\).
Pierwiastek z delty wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{X} = \sqrt{k^{2} + 4k^{3}} = k \sqrt{4k+1}}\).
Niech \(\displaystyle{ 4k + 1 = N^{2} \Rightarrow k = \frac{N^{2}-1}{4}}\)
Przyjmujemy, że \(\displaystyle{ b = \frac{-k + kN}{2} = \frac{N^{2}-1}{8}\left(N-1\right)}\) oraz \(\displaystyle{ a = b + k = \frac{N^{2}-1}{8}\left(N+1\right)}\)
Wystarczy wziąć teraz \(\displaystyle{ N}\) nieparzyste, wtedy \(\displaystyle{ a, b}\) należą do całkowitych dodatnich, ponieważ \(\displaystyle{ 8|N^{2} - 1}\), skąd rozwiązań jest nieskończenie wiele.