Nie kwadrat

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić ze wyrazenie \(\displaystyle{ 3^n+ 2\cdot 17^n}\) nie jest kwadratem liczby całkowitej dla \(\displaystyle{ n=0,1,2,...}\)

[kerajs]

Reszta z dzielenia kwadratu liczby naturalnej przez 8 to 0, 1 lub 4.

1)
Niech \(\displaystyle{ n=2k}\)
\(\displaystyle{ 3^{2k}+2 \cdot (16+1)^{2k}=(8+1)^{k}+2 \cdot (16+1)^{2k}=8A+1+2(8B+1)=8C+3}\)
gdzie A, B, C to pewne liczby naturalne dodatnie.
2)
Niech \(\displaystyle{ n=2k+1}\)
\(\displaystyle{ 3^{2k+1}+2 \cdot (16+1)^{2k+1}=(8+1)^{k} \cdot 3+2 \cdot (16+1)^{2k}=(8A+1)3+2(8B+1)=8C+5}\)
gdzie A, B, C to pewne liczby naturalne dodatnie.