Potęga pi
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Potęga pi
Odpowiedź jest negatywna, gdyż liczba \(\displaystyle{ \pi}\) jest przestępna, ale nie umiem tego udowodnić.
To jest konsekwencją twierdzenia Lindemanna-Weierstrassa.
To jest konsekwencją twierdzenia Lindemanna-Weierstrassa.
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: Potęga pi
Tw. Lindemanna-Weierstrassa mówi:
Jeśli układ \(\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n}\) jest liniowo niezależny nad \(\displaystyle{ \mathbb Q}\) (czyli nie istnieje układ niezerowych liczb wymiernych \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n}\), takich że \(\displaystyle{ a_1 \alpha_1 + a_2 \alpha_2+...+a_n \alpha_n = 0}\)), to układ \(\displaystyle{ e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, ..., e^{\alpha_n}}\) jest algebraicznie niezależny (nie przytoczę tu przydługiej definicji, nawet na wiki jest poprawna) nad \(\displaystyle{ \mathbb Q}\), czyli przestępne.
W szczególności, gdy \(\displaystyle{ \alpha \neq 0}\) jest algebraiczne, \(\displaystyle{ e^\alpha}\) jest przestępne
Stąd otrzymujemy, że ponieważ \(\displaystyle{ e^{i \pi} = -1}\) daje wynik algebraiczny, to wykładnik nie może być algebraiczny, zatem \(\displaystyle{ \pi i}\) jest przestępne, a ponieważ iloczyn liczby algebraicznej i przestępnej jest przestępny, to również \(\displaystyle{ \pi}\) jest przestępne
Jeśli szukasz elementarnego rozwiązania, to go nie znajdziesz ._.
Jeśli układ \(\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n}\) jest liniowo niezależny nad \(\displaystyle{ \mathbb Q}\) (czyli nie istnieje układ niezerowych liczb wymiernych \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n}\), takich że \(\displaystyle{ a_1 \alpha_1 + a_2 \alpha_2+...+a_n \alpha_n = 0}\)), to układ \(\displaystyle{ e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, ..., e^{\alpha_n}}\) jest algebraicznie niezależny (nie przytoczę tu przydługiej definicji, nawet na wiki jest poprawna) nad \(\displaystyle{ \mathbb Q}\), czyli przestępne.
W szczególności, gdy \(\displaystyle{ \alpha \neq 0}\) jest algebraiczne, \(\displaystyle{ e^\alpha}\) jest przestępne
Stąd otrzymujemy, że ponieważ \(\displaystyle{ e^{i \pi} = -1}\) daje wynik algebraiczny, to wykładnik nie może być algebraiczny, zatem \(\displaystyle{ \pi i}\) jest przestępne, a ponieważ iloczyn liczby algebraicznej i przestępnej jest przestępny, to również \(\displaystyle{ \pi}\) jest przestępne
Jeśli szukasz elementarnego rozwiązania, to go nie znajdziesz ._.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Potęga pi
Definicja algebraicznej niezależności jest tak samo długa jak definicja liniowej niezależności:PoweredDragon pisze:Jeśli układ \(\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n}\) jest liniowo niezależny nad \(\displaystyle{ \mathbb Q}\) (czyli nie istnieje układ niezerowych liczb wymiernych \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n}\), takich że \(\displaystyle{ a_1 \alpha_1 + a_2 \alpha_2+...+a_n \alpha_n = 0}\)), to układ \(\displaystyle{ e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, ..., e^{\alpha_n}}\) jest algebraicznie niezależny (nie przytoczę tu przydługiej definicji, nawet na wiki jest poprawna) nad \(\displaystyle{ \mathbb Q}\), czyli przestępne.
Układ \(\displaystyle{ a_1, \ldots a_n}\) elementów ciała \(\displaystyle{ L}\) jest algebraicznie niezależny nad podciałem \(\displaystyle{ K \subseteq L}\), jeśli nie istnieje niezerowy wielomian \(\displaystyle{ p \in K[X_1, \ldots, X_n]}\), taki że \(\displaystyle{ p(a_1, \ldots, a_n) = 0}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: Potęga pi
Nie wiem czemu ucięty jest fragment. Miało być "czyli w szczególności dla singletonów liczb algebraicznych \(\displaystyle{ \left\{ \alpha\right\}}\), \(\displaystyle{ e^{\alpha}}\) jest przestępne"