Potęga pi

[Papabile]

Hejka, mam takie pytanie. Czy istnieje takie \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\) różne od 0, że \(\displaystyle{ \pi ^{k} \in \QQ}\)?

[Premislav]

No jasne, np. \(\displaystyle{ k=\log_{\pi} 2}\). Ale może nie o to chodziło, bo to trochę zbyt banalne się wydaje.

[Papabile]

Masz racje, pomyliłem \(\displaystyle{ \RR}\) z \(\displaystyle{ \ZZ}\)

[Premislav]

Odpowiedź jest negatywna, gdyż liczba \(\displaystyle{ \pi}\) jest przestępna, ale nie umiem tego udowodnić.
To jest konsekwencją twierdzenia Lindemanna-Weierstrassa.

[PoweredDragon]

Tw. Lindemanna-Weierstrassa mówi:

Jeśli układ \(\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n}\) jest liniowo niezależny nad \(\displaystyle{ \mathbb Q}\) (czyli nie istnieje układ niezerowych liczb wymiernych \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n}\), takich że \(\displaystyle{ a_1 \alpha_1 + a_2 \alpha_2+...+a_n \alpha_n = 0}\)), to układ \(\displaystyle{ e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, ..., e^{\alpha_n}}\) jest algebraicznie niezależny (nie przytoczę tu przydługiej definicji, nawet na wiki jest poprawna) nad \(\displaystyle{ \mathbb Q}\), czyli przestępne.


W szczególności, gdy \(\displaystyle{ \alpha \neq 0}\) jest algebraiczne, \(\displaystyle{ e^\alpha}\) jest przestępne
Stąd otrzymujemy, że ponieważ \(\displaystyle{ e^{i \pi} = -1}\) daje wynik algebraiczny, to wykładnik nie może być algebraiczny, zatem \(\displaystyle{ \pi i}\) jest przestępne, a ponieważ iloczyn liczby algebraicznej i przestępnej jest przestępny, to również \(\displaystyle{ \pi}\) jest przestępne

Jeśli szukasz elementarnego rozwiązania, to go nie znajdziesz ._.

[Dasio11]

Jeśli układ \(\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n}\) jest liniowo niezależny nad \(\displaystyle{ \mathbb Q}\) (czyli nie istnieje układ niezerowych liczb wymiernych \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n}\), takich że \(\displaystyle{ a_1 \alpha_1 + a_2 \alpha_2+...+a_n \alpha_n = 0}\)), to układ \(\displaystyle{ e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, ..., e^{\alpha_n}}\) jest algebraicznie niezależny (nie przytoczę tu przydługiej definicji, nawet na wiki jest poprawna) nad \(\displaystyle{ \mathbb Q}\), czyli przestępne.

Definicja algebraicznej niezależności jest tak samo długa jak definicja liniowej niezależności:

Układ \(\displaystyle{ a_1, \ldots a_n}\) elementów ciała \(\displaystyle{ L}\) jest algebraicznie niezależny nad podciałem \(\displaystyle{ K \subseteq L}\), jeśli nie istnieje niezerowy wielomian \(\displaystyle{ p \in K[X_1, \ldots, X_n]}\), taki że \(\displaystyle{ p(a_1, \ldots, a_n) = 0}\).

[PoweredDragon]

Nie wiem czemu ucięty jest fragment. Miało być "czyli w szczególności dla singletonów liczb algebraicznych \(\displaystyle{ \left\{ \alpha\right\}}\), \(\displaystyle{ e^{\alpha}}\) jest przestępne"